ผู้ซื้อในวิชาคณิตศาสตร์ - สูตร, สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในเรขาคณิต, ตรีโกณมิติ

คอลเลกชันของแผ่นโกงในวิชาคณิตศาสตร์

แผ่นโกงคณิตศาสตร์ - สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

สัญลักษณ์ของเรขาคณิต

เครื่องหมาย	ชื่อของสัญลักษณ์	ความหมาย / คำจำกัดความ	ตัวอย่าง
∠	มุม	ก่อตั้งขึ้นโดยสองรังสี	∠ABC \u003d 30 °
	มุมที่วัดได้		ABC \u003d 30 °
	มุมทรงกลม		AOB \u003d 30 °
∟	มุมฉาก	\u003d 90 °	α \u003d 90 °
°	ระดับ	1 การหมุนเวียน \u003d 360 °	α \u003d 60 °
ผู้สำเร็จการศึกษา	ระดับ	1 การหมุนเวียน \u003d 360 องศา	α \u003d 60 องศา
′	นายกรัฐมนตรี	นาทีเชิงมุม 1 ° \u003d 60 ′	α \u003d 60 ° 59 ′
″	สองจังหวะ	มุมที่สอง 1 ′\u003d 60″	α \u003d 60 ° 59′59″
	ไลน์	สายไม่มีที่สิ้นสุด
AB	ส่วนของเส้น	บรรทัดจากจุด A ถึงจุด B
	เรย์	บรรทัดที่เริ่มต้นจากจุดก
	ส่วนโค้ง	ส่วนโค้งจากจุด A ถึงจุด B	\u003d 60 °
⊥	ตั้งฉาก	เส้นตั้งฉาก (มุม 90 °)	AC ⊥ BC
∥	ขนาน	เส้นขนาน	ab ∥ซีดี
≅	สอดคล้องกัน	ความเท่าเทียมกันของรูปทรงเรขาคณิตและขนาด	∆abc≅ ∆xyz
~	ความคล้ายคลึงกัน	รูปแบบเดียวกันขนาดที่แตกต่างกัน	∆ABC ~ ∆xyz
Δ	สามเหลี่ยม	รูปร่างของสามเหลี่ยม	ΔABC≅ΔBCD
|  x —  ยู |	ระยะทาง	ระยะห่างระหว่างคะแนน x และ y	|  x —  ยู | \u003d 5
π	pI คงที่	π \u003d 3.141592654 ... อัตราส่วนของความยาวของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม	ค. =  π ⋅  ค. \u003d 2⋅ π ⋅  r
ยินดี	เรเดียน	หน่วย Radiana Angular	360 ° \u003d 2π rad
ค.	เรเดียน	หน่วย Radiana Angular	360 ° \u003d 2π กับ
ผู้สำเร็จการศึกษา	gradians / gonons	บล็อกมุม	360 ° \u003d 400 องศา
ก.	gradians / gonons	บล็อกมุม	360 ° \u003d 400 ก.

ผู้ซื้อในวิชาคณิตศาสตร์ - สูตรในเรขาคณิต

ผู้ซื้อในวิชาคณิตศาสตร์ - สูตรในเรขาคณิต:

• สูตรสำหรับพื้นที่ของวงกลมและชิ้นส่วน

ลักษณะตัวเลข	รูปภาพ	สูตร
พื้นที่ของวงกลม		, ที่ไหน R - รัศมีของวงกลม ค. - เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม
สแควร์		, ถ้าขนาดของมุม α แสดงในรังสี
		, ถ้าขนาดของมุม α แสดงเป็นองศา
พื้นที่ของเซ็กเมนต์		, ถ้าขนาดของมุม α แสดงในรังสี
		, ถ้าขนาดของมุม α แสดงเป็นองศา

สูตรสำหรับความยาวของวงกลมและส่วนโค้งของมัน

ลักษณะตัวเลข	รูปภาพ	สูตร
เส้นรอบวง		c \u003d2π r \u003dπ  ค., ที่ไหน R - รัศมีของวงกลม ค. - เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม
ความยาวของส่วนโค้ง		แอล(α) = α R, ถ้าขนาดของมุม α แสดงในรังสี
		, ถ้าขนาดของมุม α แสดงเป็นองศา

• รูปหลายเหลี่ยมที่เหมาะสม

การกำหนดที่ใช้แล้ว

สูตรสำหรับด้านข้างขอบเขตและพื้นที่ที่ถูกต้อง n. - ugulnik

ค่า	รูปภาพ	สูตร	คำอธิบาย
ปริมณฑล		P \u003d AN	การแสดงออกรอบด้านข้าง
สี่เหลี่ยม			การแสดงออกของพื้นที่ผ่านด้านข้างและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
สี่เหลี่ยม			การแสดงออกของพื้นที่ด้านข้าง
ด้านข้าง			การแสดงออกของด้านข้างผ่านรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
ปริมณฑล			การแสดงออกของปริมณฑลผ่านรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
สี่เหลี่ยม			การแสดงออกของพื้นที่ผ่านรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
ด้านข้าง			การแสดงออกของด้านข้างผ่านรัศมีของวงกลมที่อธิบาย
ปริมณฑล			การแสดงออกของปริมณฑลผ่านรัศมีของวงกลมที่อธิบาย
สี่เหลี่ยม			การแสดงออกของพื้นที่ผ่านรัศมีของวงกลมที่อธิบาย

สูตรสำหรับด้านข้างขอบเขตและพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ถูกต้อง

ค่า	รูปภาพ	สูตร	คำอธิบาย
ปริมณฑล		p \u003d 3a	การแสดงออกรอบด้านข้าง
สี่เหลี่ยม			การแสดงออกของพื้นที่ด้านข้าง
สี่เหลี่ยม			การแสดงออกของพื้นที่ผ่านด้านข้างและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
ด้านข้าง			การแสดงออกของด้านข้างผ่านรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
ปริมณฑล			การแสดงออกของปริมณฑลผ่านรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
สี่เหลี่ยม		ดูผลลัพธ์ของสูตร	การแสดงออกของพื้นที่ผ่านรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
ด้านข้าง			การแสดงออกของด้านข้างผ่านรัศมีของวงกลมที่อธิบาย
ปริมณฑล			การแสดงออกของปริมณฑลผ่านรัศมีของวงกลมที่อธิบาย
สี่เหลี่ยม			การแสดงออกของพื้นที่ผ่านรัศมีของวงกลมที่อธิบาย

สูตรสำหรับด้านข้างขอบเขตและพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมที่ถูกต้อง

ค่า	รูปภาพ	สูตร	คำอธิบาย
ปริมณฑล		p \u003d 6a	การแสดงออกรอบด้านข้าง
สี่เหลี่ยม			การแสดงออกของพื้นที่ด้านข้าง
สี่เหลี่ยม		S \u003d 3AR	การแสดงออกของพื้นที่ผ่านด้านข้างและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
ด้านข้าง			การแสดงออกของด้านข้างผ่านรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
ปริมณฑล			การแสดงออกของปริมณฑลผ่านรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
สี่เหลี่ยม			การแสดงออกของพื้นที่ผ่านรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
ด้านข้าง		a \u003d R	การแสดงออกของด้านข้างผ่านรัศมีของวงกลมที่อธิบาย
ปริมณฑล		p \u003d 6r	การแสดงออกของปริมณฑลผ่านรัศมีของวงกลมที่อธิบาย
สี่เหลี่ยม			การแสดงออกของพื้นที่ผ่านรัศมีของวงกลมที่อธิบาย

สูตรสำหรับด้านข้างขอบเขตและพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส

ค่า	รูปภาพ	สูตร	คำอธิบาย
ปริมณฑล		p \u003d 4a	การแสดงออกรอบด้านข้าง
สี่เหลี่ยม		s \u003dอัน2	การแสดงออกของพื้นที่ด้านข้าง
ด้านข้าง		a \u003d 2r	การแสดงออกของด้านข้างผ่านรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
ปริมณฑล		p \u003d 8r	การแสดงออกของปริมณฑลผ่านรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
สี่เหลี่ยม		s \u003d4r2	การแสดงออกของพื้นที่ผ่านรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
ด้านข้าง			การแสดงออกของด้านข้างผ่านรัศมีของวงกลมที่อธิบาย
ปริมณฑล			การแสดงออกของปริมณฑลผ่านรัศมีของวงกลมที่อธิบาย
สี่เหลี่ยม		s \u003d2R2	การแสดงออกของพื้นที่ผ่านรัศมีของวงกลมที่อธิบาย

• สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยม

รูป	รูปภาพ	สูตรของพื้นที่	การกำหนด
สามเหลี่ยมโดยพลการ			อัน - ทุกด้าน ชม. อัน - ความสูงลดลงทางด้านนี้
			อัน และ พ.ส. - ทั้งสองฝ่าย จาก - มุมระหว่างพวกเขา
		.	a, B, C- ปาร์ตี้ น. - กึ่งความเร็ว สูตรเรียกว่า "Formula Heron"
			อัน - ทุกด้าน B, S - มุมที่อยู่ติดกัน
			a, B, C - ปาร์ตี้ r - รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ น. - กึ่งความเร็ว
			a, B, C - ปาร์ตี้ R - รัศมีของวงกลมที่อธิบาย
		s \u003d2R2 บาป อัน บาป พ.ส. บาป ค.	A, B, C - มุม R - รัศมีของวงกลมที่อธิบาย
สามเหลี่ยมด้านเท่า (ถูกต้อง)			อัน - ด้านข้าง
			ชม. - ความสูง
			r - รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
			R - รัศมีของวงกลมที่อธิบาย
สามเหลี่ยมมุมฉาก			อัน และ พ.ส. - Katets
			อัน - Katet, φ - มุมคมที่อยู่ติดกัน
			อัน - Katet, φ - ตรงข้ามมุมคม
			ค. - hypotenuse φ - มุมที่คมชัดใด ๆ

• สูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส

จัตุรัส	รูปภาพ	สูตรของพื้นที่	การกำหนด
สี่เหลี่ยมผืนผ้า		s \u003d ab	อัน และ พ.ส. - ด้านที่อยู่ติดกัน
			ค.- แนวทแยง φ - มุมใด ๆ ระหว่างเส้นทแยงมุมใด ๆ
		s \u003d2R2 บาปφ ปรากฎจากการทดแทนสูตรบน d \u003d 2r	R - รัศมีของวงกลมที่อธิบายไว้ φ - มุมใด ๆ ระหว่างเส้นทแยงมุมใด ๆ
สี่เหลี่ยมด้านขนาน		s \u003d a h อัน	อัน - ด้านข้าง, ชม. อัน - ความสูงลดลงทางด้านนี้
		s \u003d abบาปφ	อัน และ พ.ส. - ด้านที่อยู่ติดกัน φ - มุมระหว่างพวกเขา
			ค.1,  ค.2 - เส้นทแยงมุม φ - มุมใด ๆ ระหว่างพวกเขา
สี่เหลี่ยม		S \u003d A2	อัน - ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
		s \u003d4r2	r - รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
		ดูผลลัพธ์ของสูตร	ค. - เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
		s \u003d2R2 ปรากฎจากการทดแทนสูตรบน d \u003d 2r	R - รัศมีของวงกลมที่อธิบาย
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน		s \u003d a h อัน	อัน - ด้านข้าง, ชม. อัน - ความสูงลดลงทางด้านนี้
		s \u003dอัน2 บาปφ	อัน - ด้านข้าง, φ - มุมสี่มุมใด ๆ ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
			ค.1,  ค.2 - เส้นทแยงมุม
		s \u003d2อาร์ ดูผลลัพธ์ของสูตร	อัน - ด้านข้าง, r - รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
			r - รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ φ - มุมสี่มุมใด ๆ ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
รูปสี่เหลี่ยมคางหมู			อัน และ พ.ส. - บริเวณ ชม. - ความสูง
		s \u003d m h	ม. - สายกลาง ชม. - ความสูง
			ค.1,  ค.2 - เส้นทแยงมุม φ - มุมใด ๆ ระหว่างพวกเขา
			อัน และ พ.ส. - บริเวณ ค. และ ค. - ด้านข้าง
เดลทอยด์		s \u003d abบาปφ	อัน และ พ.ส. - แง่มุมที่ไม่เท่ากัน φ - มุมระหว่างพวกเขา
			อัน และ พ.ส. - แง่มุมที่ไม่เท่ากัน φ 1 - มุมระหว่างด้านข้างเท่ากัน อัน , φ 2 - มุมระหว่างด้านข้างเท่ากัน พ.ส..
		s \u003d(a + B) R	อัน และ พ.ส. - แง่มุมที่ไม่เท่ากัน r - รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
		ดูผลลัพธ์ของสูตร	ค.1,  ค.2 - เส้นทแยงมุม
จัตุรัสนูนโดยพลการ			ค.1,  ค.2 - เส้นทแยงมุม φ - มุมใด ๆ ระหว่างพวกเขา
จัตุรัสจตุรัสจารึก		,	เอบีซีดี - ความยาวของด้านข้างของจัตุรัส น. - กึ่งอมตะ สูตรเรียกว่า "สูตร Brahmagupta"

• วิธีการประสานงาน

ระยะห่างระหว่างคะแนน แต่(x1; ยู1)  และ ที่(x2; ยู2)
พิกัด ( x;  ยู) ตรงกลางของเซ็กเมนต์ AB ด้วยจุดจบ แต่(x1;  ยู1) และ ที่(x2;  ยู2)
สมการตรง
สมการวงกลมที่มีรัศมี R และ กับจุดศูนย์กลางที่จุด ( x0;  ยู0)
ถ้า แต่ ( x1;  ยู1) และ ที่ ( x2;  ยู2) จากนั้นพิกัดของเวกเตอร์	(x2-x1; ยู2-wh1}
การเพิ่มเวกเตอร์	{x1; y1} +  {x2; y2} =  { xหนึ่ง  x2; yหนึ่ง  y2} {x1; y1}    {x2; y2} =  {xหนึ่ง  x2; yหนึ่ง  y2}
การคูณของเวกเตอร์ {x; y} ในหมายเลข เค	เค  {x; y} = เค { เค  x; เค   y}
ความยาวของเวกเตอร์
งานสเกลาร์ของเวกเตอร์ และ	∙    =  ∙ ที่ไหน — มุมระหว่างเวกเตอร์    และ
งานสเกลาร์ของเวกเตอร์ในพิกัด	{x1; y1} และ {x2; y2} ∙  = xหนึ่ง· x2 + yหนึ่ง· y2
เครื่องชั่งของเวกเตอร์ {x; y}
โคไซน์ของมุม ระหว่างเวกเตอร์ {x1; y1} และ {x2; y2}
เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการตั้งฉากของเวกเตอร์	{x1; y1} ┴  {x2; y2} ∙  = 0 หรือ  xหนึ่ง· x2 + yหนึ่ง· y2= 0

แผ่นโกงคณิตศาสตร์ - สูตรในตรีโกณมิติ

ผู้ซื้อในวิชาคณิตศาสตร์ - สูตรในตรีโกณมิติ:

• อัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก

$$\mathrm{พ.}\mathrm{ฉัน}{\mathrm{n.}}^{2}x+\mathrm{ค.}\mathrm{โอ}{\mathrm{พ.}}^{2}x=1$$

$$t\mathrm{ก.}x=\frac{\mathrm{พ.}\mathrm{ฉัน}\mathrm{n.}x}{\mathrm{ค.}\mathrm{โอ}\mathrm{พ.}x}$$

$$\mathrm{ค.}t\mathrm{ก.}x=\frac{\mathrm{ค.}\mathrm{โอ}\mathrm{พ.}x}{\mathrm{พ.}\mathrm{ฉัน}\mathrm{n.}x}$$

$$t\mathrm{ก.}x\mathrm{ค.}t\mathrm{ก.}x=1$$

$$t{\mathrm{ก.}}^{2}x+1=\frac{1}{\mathrm{ค.}\mathrm{โอ}{\mathrm{พ.}}^{2}x}$$

$$\mathrm{ค.}t{\mathrm{ก.}}^{2}x+1=\frac{}{}$$

• สูตรการโต้แย้งสองครั้ง (มุม)

$$\mathrm{พ.}\mathrm{ฉัน}\mathrm{n.}2x=2\mathrm{ค.}\mathrm{โอ}\mathrm{พ.}x\mathrm{พ.}\mathrm{ฉัน}\mathrm{n.}x$$

$$\begin{array}{cc}\mathrm{พ.}\mathrm{ฉัน}\mathrm{n.}2x& =\frac{2t\mathrm{ก.}x}{1+t{\mathrm{ก.}}^{2}x}\\ & =\frac{2\mathrm{ค.}t\mathrm{ก.}x}{1+\mathrm{ค.}t{\mathrm{ก.}}^{2}x}\\ & =\frac{2}{t\mathrm{ก.}x+\mathrm{ค.}t\mathrm{ก.}x}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}\mathrm{ค.}\mathrm{โอ}\mathrm{พ.}2x& ={\mathrm{cOS}}^{2}x-\mathrm{พ.}\mathrm{ฉัน}{\mathrm{n.}}^{2}x\\ & =2\mathrm{ค.}\mathrm{โอ}{\mathrm{พ.}}^{2}x-1\\ & =1-2\mathrm{พ.}\mathrm{ฉัน}{\mathrm{n.}}^{2}x\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}\mathrm{ค.}\mathrm{โอ}\mathrm{พ.}2x& =\frac{1-t{\mathrm{ก.}}^{2}x}{1+t{\mathrm{ก.}}^{2}x}\\ & =\frac{\mathrm{ค.}t{\mathrm{ก.}}^{2}x-1}{\mathrm{ค.}t{\mathrm{ก.}}^{2}x+1}\\ & =\frac{\mathrm{ค.}t\mathrm{ก.}x-t\mathrm{ก.}x}{\mathrm{ค.}t\mathrm{ก.}x+t\mathrm{ก.}x}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}t\mathrm{ก.}2x& =\frac{2t\mathrm{ก.}x}{1-t{\mathrm{ก.}}^{2}x}\\ & =\frac{2\mathrm{ค.}t\mathrm{ก.}x}{\mathrm{ค.}t{\mathrm{ก.}}^{2}x-1}\\ & =\frac{2}{\mathrm{ค.}t\mathrm{ก.}x-t\mathrm{ก.}x}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}\mathrm{ค.}t\mathrm{ก.}2x& =\frac{\mathrm{ค.}t{\mathrm{ก.}}^{2}x-1}{2\mathrm{ค.}t\mathrm{ก.}x}\\ & =\frac{2\mathrm{ค.}t\mathrm{ก.}x}{\mathrm{ค.}t{\mathrm{ก.}}^{2}x-1}\\ & =\frac{\mathrm{ค.}t\mathrm{ก.}x-t\mathrm{ก.}x}{2}\end{array}$$

• สูตรอาร์กิวเมนต์สามตัว (มุม)

$$\mathrm{พ.}\mathrm{ฉัน}\mathrm{n.}3x=3\mathrm{พ.}\mathrm{ฉัน}\mathrm{n.}x-4\mathrm{พ.}\mathrm{ฉัน}{\mathrm{n.}}^{3}x$$

$$\mathrm{ค.}\mathrm{โอ}\mathrm{พ.}3x=4\mathrm{ค.}\mathrm{โอ}{\mathrm{พ.}}^{3}x-3\mathrm{ค.}\mathrm{โอ}\mathrm{พ.}x$$

$$t\mathrm{ก.}3x=\frac{3t\mathrm{ก.}x-t{\mathrm{ก.}}^{3}x}{1-3t{\mathrm{ก.}}^{2}x}$$

$$\mathrm{ค.}t\mathrm{ก.}3x=\frac{\mathrm{ค.}t{\mathrm{ก.}}^{3}x-3\mathrm{ค.}t\mathrm{ก.}x}{3\mathrm{ค.}t{\mathrm{ก.}}^{2}x-1}$$

• สูตรของผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

$$\mathrm{พ.}\mathrm{ฉัน}\mathrm{n.}\alpha +\mathrm{พ.}\mathrm{ฉัน}\mathrm{n.}\beta =2\mathrm{พ.}\mathrm{ฉัน}\mathrm{n.}\frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \mathrm{ค.}\mathrm{โอ}\mathrm{พ.}\frac{\alpha -\beta }{2}$$

$$\mathrm{ค.}\mathrm{โอ}\mathrm{พ.}\alpha +\mathrm{ค.}\mathrm{โอ}\mathrm{พ.}\beta =2\mathrm{ค.}\mathrm{โอ}\mathrm{พ.}\frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \mathrm{ค.}\mathrm{โอ}\mathrm{พ.}\frac{\alpha -\beta }{2}$$

$$t\mathrm{ก.}\alpha +t\mathrm{ก.}\beta =\frac{\mathrm{พ.}\mathrm{ฉัน}\mathrm{n.}(\alpha +\beta )}{\mathrm{ค.}\mathrm{โอ}\mathrm{พ.}\alpha \mathrm{ค.}\mathrm{โอ}\mathrm{พ.}\beta }$$

$$\mathrm{ค.}t\mathrm{ก.}\alpha +\mathrm{ค.}t\mathrm{ก.}\beta =\frac{\mathrm{พ.}\mathrm{ฉัน}\mathrm{n.}(\alpha +\beta )}{\mathrm{ค.}\mathrm{โอ}\mathrm{พ.}\alpha \mathrm{ค.}\mathrm{โอ}\mathrm{พ.}\beta }$$

$$(\mathrm{พ.}\mathrm{ฉัน}\mathrm{n.}\alpha +\mathrm{ค.}\mathrm{โอ}\mathrm{พ.}\alpha {)}^2=1+\mathrm{พ.}\mathrm{ฉัน}\mathrm{n.}2\alpha$$

• ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ