მყიდველები მათემატიკაში - ფორმულები, მათემატიკური სიმბოლოები გეომეტრიაში, ტრიგონომეტრია

მოტყუების ფურცლების კოლექცია მათემატიკაში.

კმაყოფილი

მათემატიკა მოტყუებული ფურცლები - მათემატიკური სიმბოლოები

გეომეტრიის სიმბოლოები

სიმბოლო	სიმბოლოს სახელი	მნიშვნელობა / განმარტება	მაგალითი
∠	კუთხე	ორი სხივით ჩამოყალიბდა	∠ABC \u003d 30 °
	გაზომილი კუთხე		ABC \u003d 30 °
	სფერული კუთხე		AOB \u003d 30 °
∟	სწორი კუთხე	\u003d 90 °	α \u003d 90 °
°	გრადუსი	1 ბრუნვა \u003d 360 °	α \u003d 60 °
კვალი	გრადუსი	1 ბრუნვა \u003d 360 გრადუსი	α \u003d 60 გრადუსი
′	პრემიერ მინისტრი	კუთხის წუთი, 1 ° \u003d 60 ′	α \u003d 60 ° 59
″	ორმაგი დარტყმა	კუთხე მეორე, 1 ′ \u003d 60 ″	α \u003d 60 ° 59′59 ″
	ხაზი	გაუთავებელი ხაზი
აბ	ხაზის სეგმენტი	ხაზი A წერტილიდან B წერტილამდე
	სხივი	ხაზი, რომელიც იწყება ა
	რკალი	რკალი A წერტილიდან B წერტილამდე	\u003d 60 °
⊥	პერპენდიკულარული	პერპენდიკულური ხაზები (კუთხე 90 °)	AC ⊥ ძვ.წ.
∥	პარალელური	Პარალელური ხაზები	AB ∥ CD
≅	შესაბამისობა	გეომეტრიული ფორმებისა და ზომის ეკვივალენტობა	∆abc≅ ∆xyz
~	მსგავსება	იგივე ფორმები, სხვადასხვა ზომები	∆ABC
Δ	სამკუთხედი	სამკუთხედის ფორმა	ΔABC≅ ΔBCD
\| x — u \|	მანძილი	მანძილი X და Y წერტილებს შორის	\| x — u \| \u003d 5
π	მუდმივი პი	π \u003d 3.141592654 ... წრის სიგრძის თანაფარდობა წრის დიამეტრამდე.	გ. = π ⋅ დ. \u003d 2⋅ π ⋅ r
მოხარული	რადიანები	radiana Angular ერთეული	360 ° \u003d 2π rad
^გ.	რადიანები	radiana Angular ერთეული	360 ° \u003d 2π ^-ით
კვალი	გრადელები / გონონები	კუთხის ბლოკი	360 ° \u003d 400 გრადუსი
^გ	გრადელები / გონონები	კუთხის ბლოკი	360 ° \u003d 400 ^გ

მყიდველები მათემატიკაში - ფორმულები გეომეტრიაში

მყიდველები მათემატიკაში - ფორმულები გეომეტრიაში:

ფორმულები წრის და მისი ნაწილების ფართობისთვის

რიცხვითი მახასიათებლები	Სურათი	ფორმულა
წრის არეალი		, სად R - წრის რადიუსი, დ. - წრის დიამეტრი
სექტორის მოედანი		, თუ კუთხის ზომა α გამოხატული რადიაციებით
სექტორის მოედანი		, თუ კუთხის ზომა α გამოხატულია გრადუსებით
სეგმენტის ფართობი		, თუ კუთხის ზომა α გამოხატული რადიაციებით
სეგმენტის ფართობი		, თუ კუთხის ზომა α გამოხატულია გრადუსებით

ფორმულები წრის და მისი თაღების სიგრძისთვის

რიცხვითი მახასიათებლები	Სურათი	ფორმულა
მოცულობა		გ \u003d2π R \u003dπ დ., სად R - წრის რადიუსი, დ. - წრის დიამეტრი
რკალის სიგრძე		ლ.(α) = α R, თუ კუთხის ზომა α გამოხატული რადიაციებით
რკალის სიგრძე		, თუ კუთხის ზომა α გამოხატულია გრადუსებით

სათანადო მრავალკუთხედები

გამოყენებული აღნიშვნები

სათანადო მრავალკუთხედის მწვერვალების რაოდენობა	სათანადო მრავალკუთხედის მხარე	წარწერის წრის რადიუსი	აღწერილი წრის რადიუსი	პერიმეტრი	კვადრატი
n.	განუსაზღვრელი არტიკლი	r	R	გვ.	S.

ფორმულები მხარის, პერიმეტრისა და სწორი ფართობისათვის n. - უგულნიკი

ფასი	Სურათი	ფორმულა	აღწერილობა
პერიმეტრი		P \u003d ან	პერიმეტრის გამოხატულება მხარეს
კვადრატი			არეალის გამოხატვა გვერდითა და წარწერის წრის რადიუსში
კვადრატი			ტერიტორიის გამოხატვა მხარის გასწვრივ
გვერდი			მხარის გამოხატულება წარწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით
პერიმეტრი			პერიმეტრის გამოხატულება წარწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით
კვადრატი			ფართობის გამოხატვა წარწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით
გვერდი			მხარის გამოხატულება აღწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით
პერიმეტრი			პერიმეტრის გამოხატულება აღწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით
კვადრატი			არეალის გამოხატვა აღწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით

ფორმულები მხარის, პერიმეტრისა და სწორი სამკუთხედის ფართობისთვის

ფასი	Სურათი	ფორმულა	აღწერილობა
პერიმეტრი		P \u003d 3a	პერიმეტრის გამოხატულება მხარეს
კვადრატი			ტერიტორიის გამოხატვა მხარის გასწვრივ
კვადრატი			არეალის გამოხატვა გვერდითა და წარწერის წრის რადიუსში
გვერდი			მხარის გამოხატულება წარწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით
პერიმეტრი			პერიმეტრის გამოხატულება წარწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით
კვადრატი		დაათვალიერეთ ფორმულის გამომავალი	ფართობის გამოხატვა წარწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით
გვერდი			მხარის გამოხატულება აღწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით
პერიმეტრი			პერიმეტრის გამოხატულება აღწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით
კვადრატი			არეალის გამოხატვა აღწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით

ფორმულები მხარის, პერიმეტრისა და სწორი ექვსკუთხედის არეალისთვის

ფასი	Სურათი	ფორმულა	აღწერილობა
პერიმეტრი		P \u003d 6a	პერიმეტრის გამოხატულება მხარეს
კვადრატი			ტერიტორიის გამოხატვა მხარის გასწვრივ
კვადრატი		S \u003d 3ar	არეალის გამოხატვა გვერდითა და წარწერის წრის რადიუსში
გვერდი			მხარის გამოხატულება წარწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით
პერიმეტრი			პერიმეტრის გამოხატულება წარწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით
კვადრატი			ფართობის გამოხატვა წარწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით
გვერდი		a \u003d r	მხარის გამოხატულება აღწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით
პერიმეტრი		P \u003d 6r	პერიმეტრის გამოხატულება აღწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით
კვადრატი			არეალის გამოხატვა აღწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით

ფორმულები მხარის, პერიმეტრისა და კვადრატული ფართობისთვის

ფასი	Სურათი	ფორმულა	აღწერილობა
პერიმეტრი		P \u003d 4a	პერიმეტრის გამოხატულება მხარეს
კვადრატი		S \u003dგანუსაზღვრელი არტიკლი²	ტერიტორიის გამოხატვა მხარის გასწვრივ
გვერდი		a \u003d 2r	მხარის გამოხატულება წარწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით
პერიმეტრი		P \u003d 8R	პერიმეტრის გამოხატულება წარწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით
კვადრატი		S \u003d4r²	ფართობის გამოხატვა წარწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით
გვერდი			მხარის გამოხატულება აღწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით
პერიმეტრი			პერიმეტრის გამოხატულება აღწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით
კვადრატი		S \u003d2R²	არეალის გამოხატვა აღწერილი წრის რადიუსის მეშვეობით

ფორმულები სამკუთხედის არეალისთვის

ფიგურა	Სურათი	ტერიტორიის ფორმულა	აღნიშვნები
თვითნებური სამკუთხედი			განუსაზღვრელი არტიკლი - ნებისმიერი მხარე h _{განუსაზღვრელი არტიკლი} - ამ მხარეს შემცირებული სიმაღლე
			განუსაზღვრელი არტიკლი და ბ. - ნებისმიერი ორი მხარე, -გან - კუთხე მათ შორის
		.	ა, ბ, გ- წვეულებები, გვ. - ნახევრად -პრიმეტრი ფორმულას უწოდებენ "ფორმულა ჰერონი"
			განუსაზღვრელი არტიკლი - ნებისმიერი მხარე ბ, ს - მიმდებარე კუთხეები
			ა, ბ, გ - წვეულებები, r - წარწერის წრის რადიუსი, გვ. - ნახევრად -პრიმეტრი
			ა, ბ, გ - წვეულებები, R - აღწერილი წრის რადიუსი
		S \u003d2R² ცოდვა განუსაზღვრელი არტიკლი ცოდვა ბ. ცოდვა გ.	ა, ბ, გ - კუთხეები, R - აღწერილი წრის რადიუსი
თანაბარი (სწორი) სამკუთხედი			განუსაზღვრელი არტიკლი - მხარე
			h - სიმაღლე
			r - წარწერის წრის რადიუსი
			R - აღწერილი წრის რადიუსი
მარჯვენა სამკუთხედი			განუსაზღვრელი არტიკლი და ბ. - კატეტები
			განუსაზღვრელი არტიკლი - კატეტი, φ - მიმდებარე მკვეთრი კუთხე
			განუსაზღვრელი არტიკლი - კატეტი, φ - მკვეთრი კუთხის საპირისპირო
			გ. - ჰიპოტენუზა, φ - ნებისმიერი მკვეთრი კუთხე

ფორმულები ოთხკუთხედის ადგილებისთვის

ოთხკუთხედი	Სურათი	ტერიტორიის ფორმულა	აღნიშვნები
მართკუთხედი		S \u003d AB	განუსაზღვრელი არტიკლი და ბ. - მიმდებარე მხარეები
			დ.- დიაგონალი, φ - დიაგონალებს შორის ოთხივე კუთხიდან რომელიმე
		S \u003d2R² ცოდვა φ იგი აღმოჩნდება ზედა ფორმულის ჩანაცვლებიდან D \u003d 2R	R - აღწერილი წრის რადიუსი, φ - დიაგონალებს შორის ოთხივე კუთხიდან რომელიმე
პარალელოგრამი		S \u003d A H _{განუსაზღვრელი არტიკლი}	განუსაზღვრელი არტიკლი - მხარე, h _{განუსაზღვრელი არტიკლი} - ამ მხარეს შემცირებული სიმაღლე
		S \u003d ABცოდვა φ	განუსაზღვრელი არტიკლი და ბ. - მიმდებარე მხარეები, φ - კუთხე მათ შორის
			დ.₁, დ.₂ - დიაგონალები, φ - მათ შორის ოთხი კუთხიდან რომელიმე
კვადრატი		S \u003d ა²	განუსაზღვრელი არტიკლი - კვადრატის მხარე
		S \u003d4r²	r - წარწერის წრის რადიუსი
		დაათვალიერეთ ფორმულის გამომავალი	დ. - კვადრატის დიაგონალი
		S \u003d2R² იგი აღმოჩნდება ზედა ფორმულის ჩანაცვლებიდან d \u003d 2R	R - აღწერილი წრის რადიუსი
რომბიუსი		S \u003d A H _{განუსაზღვრელი არტიკლი}	განუსაზღვრელი არტიკლი - მხარე, h _{განუსაზღვრელი არტიკლი} - ამ მხარეს შემცირებული სიმაღლე
		S \u003dგანუსაზღვრელი არტიკლი² ცოდვა φ	განუსაზღვრელი არტიკლი - მხარე, φ - Rhombus- ის ოთხივე კუთხეიდან რომელიმე
			დ.₁, დ.₂ - დიაგონალი
		S \u003d2არ არის დაათვალიერეთ ფორმულის გამომავალი	განუსაზღვრელი არტიკლი - მხარე, r - წარწერის წრის რადიუსი
			r - წარწერის წრის რადიუსი, φ - Rhombus- ის ოთხივე კუთხეიდან რომელიმე
ტრაპეისი			განუსაზღვრელი არტიკლი და ბ. - საფუძველი, h - სიმაღლე
		S \u003d M H	მ - შუა ხაზი, h - სიმაღლე
			დ.₁, დ.₂ - დიაგონალები, φ - მათ შორის ოთხი კუთხიდან რომელიმე
			განუსაზღვრელი არტიკლი და ბ. - საფუძველი, გ. და დ. - გვერდითი მხარეები
დელტოიდი		S \u003d ABცოდვა φ	განუსაზღვრელი არტიკლი და ბ. - არათანაბარი ასპექტები, φ - კუთხე მათ შორის
			განუსაზღვრელი არტიკლი და ბ. - არათანაბარი ასპექტები, φ ₁ - კუთხე თანაბრად განუსაზღვრელი არტიკლი , φ ₂ - კუთხე თანაბრად ბ..
		S \u003d(a + B) r	განუსაზღვრელი არტიკლი და ბ. - არათანაბარი ასპექტები, r - წარწერის წრის რადიუსი
		დაათვალიერეთ ფორმულის გამომავალი	დ.₁, დ.₂ - დიაგონალი
თვითნებური ამოზნექილი ოთხკუთხედი			დ.₁, დ.₂ - დიაგონალები, φ - მათ შორის ოთხი კუთხიდან რომელიმე
წარწერილი ოთხკუთხედი		,	ა ბ გ დ - ოთხკუთხედის მხარეების სიგრძე, გვ. - ნახევრად -პრიმეტრი, ფორმულას უწოდებენ "ფორმულა ბრაჰმაგუპტა"

კოორდინატთა მეთოდი

მანძილი წერტილებს შორის მაგრამ(x₁; U₁) და -ზე(x₂; U₂)
კოორდინატები ( x; u) სეგმენტის შუა აბ ბოლოებით მაგრამ(x₁; u₁) -ზე(x₂; u₂)
განტოლება არის პირდაპირი
წრიული განტოლება რადიუსით R და იმ წერტილში ცენტრში ( x₀; u₀)
Თუ მაგრამ ( x₁; u₁) -ზე ( x₂; u₂), შემდეგ ვექტორის კოორდინატები	(X₂-ქს₁; U₂-HWH₁}
ვექტორების დამატება	{x₁; y₁} + {x₂; y₂} = { x_ერთიx₂; y_ერთიy₂} {x₁; y₁} {x₂; y₂} = {x_ერთიx₂; y_ერთიy₂}
ვექტორის გამრავლება {x; y} ნომერზე კ.	კ. {x; y} = კ. { კ. x; კ. y}
ვექტორის სიგრძე
ვექტორების სკალარული სამუშაო და	∙ = ∙ სად — კუთხე ვექტორებს შორის და
ვექტორების სკალარული მუშაობა კოორდინატებში	{x₁; y₁} და {x₂; y₂} ∙ = x_ერთი· x₂ + y_ერთი· y₂
ვექტორის სასწორები {x; y}
კუთხის კოსინი ვექტორებს შორის {x₁; y₁} და {x₂; y₂}
აუცილებელი და საკმარისი პირობა ვექტორების პერპენდიკულარობისთვის	{x₁; y₁} ┴ {x₂; y₂} ∙ = 0 ან x_ერთი· x₂ + y_ერთი· y₂= 0

მათემატიკა მოტყუების ფურცლები - ფორმულები ტრიგონომეტრიაში

მყიდველები მათემატიკაში - ფორმულები ტრიგონომეტრიაში:

მთავარი ტრიგონომეტრიული იდენტურობა

$s.მეn.2x+გ.ოs.2x=1sin2x+cos2x \u003d 1$

$მგx=s.მეn.xგ.ოs.xtgx \u003d sinxcosx$

$გ.მგx=გ.ოs.xs.მეn.xctgx \u003d cosxsinx$

$მგxგ.მგx=1tgxctgx \u003d 1$

$მგ2x+1=1გ.ოs.2xtg2x+1 \u003d 1cos2x$

$გ. მ გ^{2} x + 1 =$

ორმაგი არგუმენტის ფორმულები (კუთხე)

$s.მეn.2x=2გ.ოs.xs.მეn.xsin2x \u003d 2cosxsinx$

$s.მეn.2x=2მგx1+მგ2x=2გ.მგx1+გ.მგ2x=2მგx+გ.მგxsin2x \u003d 2tgx1+tg2x \u003d 2ctgx1+ctg2x \u003d 2tgx+ctgx$

$გ.ოs.2x=კოსმოსური2x−s.მეn.2x=2გ.ოs.2x−1=1−2s.მეn.2xcos2x \u003d cos2\u2061x -sin2x \u003d 2cos2x -1 \u003d 1–2sin2x$

$გ.ოs.2x=1−მგ2x1+მგ2x=გ.მგ2x−1გ.მგ2x+1=გ.მგx−მგxგ.მგx+მგxcos2x \u003d 1 - tg2x1+tg2x \u003d ctg2x -1ctg2x+1 \u003d ctgx - tgxctgx+tgx$

$მგ2x=2მგx1−მგ2x=2გ.მგxგ.მგ2x−1=2გ.მგx−მგxtg2x \u003d 2tgx1 - tg2x \u003d 2ctgxctg2x -1 \u003d 2ctgx - tgx$

$\begin{matrix} გ. მ გ 2 x & = \frac{გ. მ გ^{2} x - 1}{2 გ. მ გ x} = \frac{2 გ. მ გ x}{გ. მ გ^{2} x - 1} = \frac{გ. მ გ x - მ გ x}{2} \end{matrix}$

სამმაგი არგუმენტის ფორმულები (კუთხე)

$s.მეn.3x=3s.მეn.x−4s.მეn.3xsin3x \u003d 3sinx - 4sin3x$

$გ.ოs.3x=4გ.ოs.3x−3გ.ოs.xcOS3X \u003d 4COS3X - 3COSX$

$მგ3x=3მგx−მგ3x1−3მგ2xtG3X \u003d 3TGX - TG3X1–3TG2X$

$გ. მ გ 3 x = \frac{გ. მ გ^{3} x - 3 გ. მ გ x}{3 გ. მ გ^{2} x - 1}$

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამის ფორმულები

$s.მეn.α+s.მეn.β=2s.მეn.α+β2⋅გ.ოs.α−β2sinα+sinβ \u003d 2sinα+β2⋅cosα -β2$

$გ.ოs.α+გ.ოs.β=2გ.ოs.α+β2⋅გ.ოs.α−β2cosα+cosβ \u003d 2cosα+β2⋅cosα -β2$

$მგα+მგβ=s.მეn.(α+β)გ.ოs.αგ.ოs.βtgα+Tgβ \u003d ცოდვა (α+β) cosαcosβ$

$გ.მგα+გ.მგβ=s.მეn.(α+β)გ.ოs.αგ.ოs.βctgα+ctgβ \u003d ცოდვა (α+β) cosαcosββ$

$(s. მე n. α + გ. ო s. α)^{2} = 1 + s. მე n. 2 α$

საპირისპირო ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

ფუნქცია	დომენი	ღირებულებების არეალი
მშვილდი x	[-1;1]	[-π2; π2]
თაღები x	[-1;1]	[0;π]
aRCTG x	(-∞;∞)	[-π2; π2]
aRCCTG x	(-∞;∞)	(0;π)

საპირისპირო ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებები

ცოდვა (arcsin x)=x	-1 ≤ x ≤ 1
cos (arccos x)=x	-1 ≤ x ≤ 1
arcsin (ცოდვა x)=x	—π2 ≤ x ≤ π2
arccos (cos x)=x	0 ≤ x ≤ π
tG (ARCTG x)=x	x--ავს
cTG (ARCCTG x)=x	x--ავს
aRCTG (TG x)=x	—π2 ≤ x ≤ π2
aRCCTG (CTG x)=x	0 < x < π
arcsin (- x) \u003d - arcsin x	-1 ≤ x ≤ 1
arccos (- x) \u003d π - arccos x	-1 ≤ x ≤ 1
arctg (- x) \u003d - arctg x	x - ვინმეს
arcctg (- x) \u003d π - arcctg x	x - ვინმეს
მშვილდი x + Arccos x = π2	-1 ≤ x ≤ 1
aRCTG x + Arcctg x = π2	x - ვინმეს