Шпаргалки по математике — на экзамен по математике, для подготовки к ЕГЭ

Шпаргалки по математике, которые помогут без проблем сдать экзамены.

Шпаргалки на экзамен по математике

Шпаргалки на экзамен по математике:

• Геометрия

Тригонометрия:	$\sin A=\frac{a}{c}$   $\cos A=\frac{b}{c}$
	$\text{tg}A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{a}{b}$
Теорема косинусов:	$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos C$
Теорема синусов:	$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$		где R — радиус описанной окружности
Уравнение окружности:	${(x-{}_0)}^2+{(y-{}_0)}^2=R^2$	где $(x_0;y_0)$ координаты центра окружности
Соотношение вписанного и центрального углов:	$\beta =\frac{\alpha }{2}=\frac{\cup \alpha }{2}$
Описанная окружность, треугольник:	$R=\frac{abc}{4S}$		См. также теорему синусов. Центр лежит на пересечении срединных перпендикуляров.
Вписанная окружность, треугольник:	$r=\frac{S}{p}$		где p — полупериметр многоугольника. Центр лежит на пересечении биссектрис.
Описанная окружность, четырёхугольник:	$\alpha +\gamma =\beta +\delta ={180}^{\circ }$
Вписанная окружность, четырёхугольник:	$a+c=b+d$
Свойство биссектрисы:	$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$
Теорема о пересекающихся хордах:	$AM\cdot BM=CM\cdot DM$		Эти теоремы надо уметь выводить
Теорема об угле между касательной и хордой:	$\alpha =\frac{1}{2}\cup AB$
Теорема о касательной и секущей:	$C{M}^2=AM\cdot BM$
Теорема об отрезках касательных:	$AB=AC$

• Площади фигур:

• Вероятность

• Графики функций, формулы функций изучаемые в школе

Название функции	Формула функции	График функции	Название графика	Примечание
Линейная	y = kx		Прямая	Линейная зависимость — прямая пропорциональность у = kx, где k ≠ 0 — коэффициент пропорциональности.
Линейная	y = kx + b		Прямая	Линейная зависимость: коэффициенты k и b — любые действительные числа. (k = 0.5, b = 1)
Квадратичная	y = x2		Парабола	Квадратичная зависимость: симметричная парабола с вершиной в начале координат.
Квадратичная	y = xn		Парабола	Квадратичная зависимость: n — натуральное четное число > 1
Степенная	y = xn		Кубическая парабола	Нечетная степень: n — натуральное нечетное число > 1
Степенная	y = x1/2		График функции y = √x	Степенная зависимость (x1/2 = √x).
Степенная	y = k/x		Гипербола	Случай для целой отрицательной степени (1/x = x-1). Обратно-пропорциональная зависимость. (k = 1)
Показательная	y = ax		График показательной функции	Показательная функция для a > 1.
Показательная	y = ax		График показательной функции	Показательная функция для 0 < a < 1.
Логарифмическая	y = logax		График логарифмической функции	Логарифмическая функция: a > 1.
Логарифмическая	y = logax		График логарифмической функции	Логарифмическая функция: 0 < a < 1.
Синус	y = sinx		Синусоида	Тригонометрическая функция синус.
Косинус	y = cosx		Косинусоида	Тригонометрическая функция косинус.
Тангенс	y = tgx		Тангенсоида	Тригонометрическая функция тангенс.
Котангенс	y = сtgx		Котангенсоида	Тригонометрическая функция котангенс.

• Формулы произведения.

• Формула деления с остатком а = b c + r, r b
• 
• Формула периметра Р = а 4 Р = (а + b) 2
• 
• a = P : 4 (сторона квадрата) а = (P – b 2) : 2 (сторона прямоугольника)
• Формула объёма:
• 
• — прямоугольного параллелепипеда V = a b c ( a –длина, b- ширина, c – высота)
• 
• а = V : ( a b) (сторона прямоугольного параллелепипеда)
• 
• — куба V = a a a
• 
• a = V : ( a a) (сторона куба)

Тригонометрические формулы для учащихся старших классов

• Тригонометрические функции одного угла

• Тригонометрические функции суммы и разности двух углов

• Тригонометрические функции двойного угла

Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

• Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

• Выражение тангенса через синус и косинус двойного угла

• Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

• Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

• Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

• Тригонометрические функции тройного угла

Шпаргалки по математике для подготовки к ЕГЭ

Шпаргалки по математике для подготовки к ЕГЭ:

• Формулы сокращенного умножения

(а+b)² = a² + 2ab + b²

(а-b)² = a² – 2ab + b²

a² – b² = (a-b)(a+b)

a³ – b³ = (a-b)( a² + ab + b²)

a³ + b³ = (a+b)( a² – ab + b²)

(a + b)³ = a³ + 3a²b+ 3ab²+ b³

(a – b)³ = a³ – 3a²b+ 3ab²— b³

• Свойства степеней

a⁰ = 1 (a≠0)

a^m/n = (a≥0, n ε N, m ε N)

a^{— r} = 1/ a ^r (a>0, r ε Q)

a ^m · a ⁿ = a ^{m + n}

a ^m : a ⁿ = a ^{m – n} (a≠0)

(a ^m) ⁿ = a ^mn

(ab) ⁿ = a ⁿ b ⁿ

(a/b) ⁿ = a ⁿ/ b ⁿ

• Первообразная

Если F’(x) = f(x), то F(x) – первообразная

для f(x)

Функция f(x) = Первообразная F(x)

k = kx + C

xⁿ = xⁿ⁺¹/n+1 + C

1/x = ln |x| + C

e^x = e^x + C

a^x = a^x/ ln a + C

1/√x = 2√x + C

cos x = sin x + C

1/ sin² x = – ctg x + C

1/ cos² x = tg x + C

sin x = – cos x + C

1/ x² = – 1/x

• Геометрическая прогрессия

b _n+1 = b_n · q, где n ε N

q – знаменатель прогрессии

b _n = b₁ · q ^{n – 1} – n-ый член прогрессии

Сумма n-ых членов

S _n = (b _n q – b ₁ )/q-1

S _n = b ₁ (q ⁿ – 1 )/q-1

• Модуль

|a| = a, если a≥0

-a, если a<0

• Формулы cos и sin

sin (-x) = -sin x

cos (-x) = cos x

sin (x + π) = -sin x

cos (x + π) = -cos x

sin (x + 2πk) = sin x

cos (x + 2πk) = cos x

sin (x + π/2) = cos x

• Объемы и поверхности тел

1. Призма, прямая или наклонная, параллелепипед V = S·h

2. Прямая призма S_БОК = p·h, p – периметр или длина окружности

3. Параллелепипед прямоугольный

V = a·b·c; P = 2(a·b + b·c + c·a)

P – полная поверхность

4. Куб: V = a³ ; P = 6 a²

5. Пирамида, правильная и неправ.

S = 1/3 S·h; S – площадь основания

6. Пирамида правильная S =1/2 p·A

A – апофема правильной пирамиды

7. Цилиндр круговой V = S·h = πr²h

8. Цилиндр круговой: S_БОК = 2 πrh

9. Конус круговой: V=1/3 Sh = 1/3 πr²h

10. Конус круговой: S_БОК = 1/2 pL= πrL

• Тригонометрические уравнения

sin x = 0, x = πn

sin x = 1, x = π/2 + 2 πn

sin x = -1, x = – π/2 + 2 πn

cos x = 0, x = π/2 + 2 πn

cos x = 1, x = 2πn

cos x = -1, x = π + 2 πn

• Теоремы сложения

cos (x +y) = cosx ·cosy – sinx ·siny

cos (x -y) = cosx ·cosy + sinx ·siny

sin (x +y) = sinx ·cosy + cosx ·siny

sin (x -y) = sinx ·cosy – cosx ·siny

tg (x ±y) = tg x ± tg y/ 1 ^—₊ tg x ·tg y

ctg (x ±y) = tg x ^—₊ tg y/ 1± tg x ·tg y

sin x ± sin y = 2 cos (x±y/2)· cos (x^—₊y/2)

cos x ± cosy = -2 sin (x±y/2)· sin (x^—₊y/2)

1 + cos 2x = 2 cos² x; cos²x = 1+cos2x/2

1 – cos 2x = 2 sin² x; sin²x = 1- cos2x/2

6. Трапеция

a,b – основания; h – высота, c – средняя линия S = (a+b/2)·h = c·h

7. Квадрат

а – сторона, d – диагональ S = a² = d²/2

8. Ромб

a – сторона, d₁, d₂ – диагонали, α – угол между ними S = d₁d₂/2 = a²sinα

9. Правильный шестиугольник

a – сторона S = (3√3/2)a²

10. Круг

S = (L/2) r = πr² = πd²/4

11. Сектор

S = (πr²/360) α

• Правила дифференцирования

( f (x) + g (x) )’ = f ’(x) + g’(x)

(k(f(x))’ = kf ’ (x)

(f(x) g(x))’ = f ’(x)·g(x) + f(x)·g’(x)

(f(x)/g(x))’=(f ’(x)·g(x) – f(x)·g’(x))/g² (x)

(xⁿ)’ = nx ^n-1

(tg x)’ = 1/ cos² x

(ctg x)’ = – 1/ sin² x

(f (kx + m))’ = kf ’(kx + m)

• Уравнение касательной к графику функции

y = f ’(a) (x-a) + f(a)

• Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x=a, x=b

S = ∫( f(x) – g(x)) dx

• Формула Ньютона-Лебница

∫_a^b f(x) dx = F(b) – F (a)

t π/4 π/2 3π/4 π cos √2/2 0 -√2/2 1 sin √2/2 1 √2/2 0 t 5π/4 3π/2 7π/4 2π cos -√2/2 0 √2/2 1 sin -√2/2 -1 -√2/2 0 t 0 π/6 π/4 π/3 tg 0 √3/3 1 √3 ctg — √3 1 √3/3
in x = b x = (-1)ⁿ arcsin b + πn

cos x = b x = ± arcos b + 2 πn

tg x = b x = arctg b + πn

ctg x = b x = arcctg b + πn

• Теорема синусов: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R
• Теорема косинусов: с²=a²+b²-2ab cos y
• Неопределенные интегралы

∫ dx = x + C

∫ xⁿ dx = (x ^n +1/n+1) + C

∫ dx/x² = -1/x + C

∫ dx/√x = 2√x + C

∫ (kx+b) = 1/k F(kx + b)

∫ sin x dx = – cos x + C

∫ cos x dx = sin x + C

∫ dx/sin² x = -ctg + C

∫ dx/cos² x = tg + C

∫ x ^r dx = x ^r+1/r+1 + C

• Логарифмы

1. log_a a = 1

2. log_a 1 = 0

3. log_a (bⁿ) = n log_a b

4. log _Aⁿ b = 1/n log_a b

5. log_a b = log _c b/ log _c a

6. log_a b = 1/ log _b a

Градус 0 30 45 60 sin 0 1/2 √2/2 √3/2 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 tg 0 √3/3 1 √3 t π/6 π/3 2π/3 5π/6 cos √3/2 1/2 -1/2 -√3/2 sin 1/2 √3/2 √3/2 1/2 90 120 135 150 180 1 √3/2 √2/2 1/2 0 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 — -√3 -1 √3/3 0 t 7π/6 4π/3 5π/3 11π/6 cos -√3/2 -1/2 1/2 √3/2 sin -1/2 -√3/2 -√3/2 -1/2

• Формулы двойного аргумента

cos 2x = cos²x – sin² x = 2 cos² x -1 = 1 – 2 sin² x = 1 – tg² x/1 + tg² x

sin 2x = 2 sin x · cos x = 2 tg x/ 1 + tg² x

tg 2x = 2 tg x/ 1 – tg² x

ctg 2x = ctg ² x – 1/ 2 ctg x

sin 3x = 3 sin x – 4 sin³ x

cos 3x = 4 cos³ x – 3 cos x

tg 3x = 3 tg x – tg³ x / 1 – 3 tg² x

sin s cos t = (sin (s+t) + sin (s+t))/2

sin s sin t = (cos (s-t) – cos (s+t))/2

cos s cos t = (cos (s+t) + cos (s-t))/2

• Формулы дифференцирования

c’ = 0 ()’ = 1/ 2

x’ = 1 (sin x)’ = cos x

(kx + m)’ = k (cos x)’ = – sin x

(1/x)’ = – (1/x²) ( ln x)’ = 1/x

(e^x)’ = e^x; (xⁿ)’ = nx ^n-1;(log _a x)’=1/x ln a

• Площади плоских фигур

1. Прямоугольный треугольник

S = 1/2 a·b (a, b – катеты)

2. Равнобедренный треугольник

S = (a/2)·√ b² – a²/4

3. Равносторонний треугольник

S = (a²/4)·√3 (a – сторона)

4. Произвольный треугольник

a,b,c – стороны, a – основание, h – высота, A,B,C – углы, лежащие против сторон; p = (a+b+c)/2

S = 1/2 a·h = 1/2 a²b sin C =

a²sinB sinC/2 sin A= √p(p-a)(p-b)(p-c)

5. Параллелограмм

a,b – стороны, α – один из углов; h – высота S = a·h = a·b·sin α

cos (x + π/2) = -sin x

• Формулы tg и ctg

tg x = sin x/ cos x; ctg x = cos x/sin x

tg(-x) = – tg x

ctg(-x) = – ctg x

tg (x + πk) = tg x

ctg (x + πk) = ctg x

tg (x ± π) = ± tg x

ctg (x ± π) = ± ctg x

tg (x + π/2) = – ctg x

ctg (x + π/2) = – tg x

sin² x + cos² x =1

tg x · ctg x = 1

1 + tg² x = 1/ cos² x

1 + ctg² x = 1/ sin² x

tg² (x/2) = 1 – cos x/ 1 + cos x

cos² (x/2) = 1 + cos x/ 2

sin² (x/2) = 1 – cos x/ 2

11. Шар: V=4/3 πR³ = 1/6 πD³

P = 4 πR² = πD²

12. Шаровой сегмент

V = πh² (R-1/3h) = πh/6(h² + 3r²)

S_БОК = 2 πRh = π(r² + h²); P= π(2r² + h²)

13. Шаровой слой

V = 1/6 πh³ + 1/2 π(r² + h²)· h;

S_БОК = 2 π·R·h

14. Шаровой сектор:

V = 2/3 πR² h’ где h’ – высота сегмента, содержащего в секторе

• Формула корней квадратного уравнения

(a≥0, b≥0)

(a≥0)

ax² + bx + c = 0 (a≠0)

Если D=0, то x = -b/2a (D = b²-4ac)

Если D>0, то x_1,2 = -b± /2a

Теорема Виета

x₁ + x₂ = -b/a

x₁ · x₂ = c/a

• Арифметическая прогрессия

a _n+1 = a _n + d, где n – натуральное число

d – разность прогрессии;

a _n = a ₁ + (n – 1)·d – формула n-го члена

Сумма n членов

S _n = ((a ₁ + a _n )/2) · n

S _n = ((2a ₁ + (n-1)d)/2) · n

• Радиус описанной окружности около многоугольника

R = a/ 2 sin 180/n

• Радиус вписанной окружности

r = a/ 2 tg 180/n

Окружность

L = 2 πR S = πR²

• Площадь конуса

S _БОК = πRL

S _КОН = πR(L+R)

Тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилегающему. Котангенс – наоборот.

Шпаргалка по профильной математике

Шпаргалка по профильной математике:

• Ф-лы половинного аргумента.

sin²  /2 = (1 — cos  )/2

cos²  /2 = (1 + cos )/2

tg  /2 = sin /(1 + cos ) = (1-cos  )/sin 

   + 2 n, n  Z

• Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x — sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x — cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

• Формулы преобр. произв. в сумму

sin x sin y = ½ (cos (x-y) — cos (x+y))

cos x cos y = ½ (cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = ½ (sin (x-y)+ sin (x+y))

• Соотношение между функциями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg²x/2)

cos x = (1-tg² 2/x)/ (1+ tg² x/2)

sin2x = (2tgx)/(1+tg²x)

sin²  = 1/(1+ctg²  ) = tg²  /(1+tg²  )

cos²  = 1/(1+tg²  ) = ctg²  / (1+ctg²  )

ctg2 = (ctg²  -1)/ 2ctg

sin3 = 3sin -4sin³  = 3cos²  sin -sin³ 

cos3 = 4cos³  -3 cos= cos³  -3cos sin² 

tg3 = (3tg -tg³  )/(1-3tg²  )

ctg3 = (ctg³  -3ctg )/(3ctg²  -1)

sin  /2 =   ((1-cos )/2)

cos  /2 =   ((1+cos )/2)

tg /2 =   ((1-cos )/(1+cos ))=

sin /(1+cos )=(1-cos )/sin

ctg /2 =   ((1+cos )/(1-cos ))=

sin /(1-cos )= (1+cos )/sin

sin(arcsin  ) = 

cos( arccos  ) = 

tg ( arctg  ) = 

ctg ( arcctg  ) = 

arcsin (sin ) =  ;   [- /2 ;  /2]

arccos(cos  ) =  ;   [0 ;  ]

arctg (tg  ) =  ;   [- /2 ;  /2]

arcctg (ctg  ) =  ;   [ 0 ;  ]

arcsin(sin )=

arccos (cos ) =

arctg(tg )=  — k

  (- /2 + k; /2+ k)

arcctg(ctg ) =  — k

  ( k; (k+1) )

arcsin = -arcsin (- )=  /2-arccos =

= arctg  / (1- ² )

arccos =  -arccos(- )= /2-arcsin  =

= arc ctg / (1- ² )

arctg =-arctg(- ) =  /2 -arcctg =

= arcsin  / (1+ ² )

arc ctg  =  -arc cctg(- ) =

= arc cos  / (1- ² )

arctg  = arc ctg1/ =

= arcsin  / (1+ ² )= arccos1/ (1+ ² )

arcsin  + arccos =  /2

arcctg  + arctg =  /2

• Показательные уравнения.

Неравенства: Если a^f(x)>(<) a^а(ч)

Логарифмы : неравенства:

log_af(x) >(<) log _a  (x)

1. a>1, то : f(x) >0

 (x)>0

f(x)> (x)

2. 0<a<1, то:=»» f(x)=»»>0

 (x)>0

f(x)< (x)

3. log _f(x)  (x) = a

ОДЗ:  (x) > 0

f(x) >0

f(x )  1

Тригонометрия:

1. Разложение на множители:

sin 2x —  3 cos x = 0

2sin x cos x - 3 cos x = 0

cos x(2 sin x —  3) = 0

2. Решения заменой 

3.sin² x — sin 2x + 3 cos² x =2

sin² x — 2 sin x cos x + 3 cos ² x = 2 sin² x + cos² x

Дальше пишется если sin x = 0, то и cos x = 0,

а такое невозможно, => можно поделить на cos x

• Тригонометрические нер-ва :

sin   m

2 k+ ₁ =  =  ₂+ 2 k

2 k+ ₂ =  = ( ₁+2 )+ 2 k

Пример:

I cos ( /8+x) <  3/2

 k+ 5 /6<  /8 +x< 7 /6 + 2 k

2 k+ 17 /24 < x<  /24+2 k;;;;

II sin  = 1/2

2 k +5 /6 =  = 13 /6 + 2 k

cos   (= ) m

2 k +  ₁ <  <  ₂+2  k

2 k+ ₂<  < ( ₁+2 ) + 2 k

cos   —  2/2

2 k+5 /4 =  = 11 /4 +2 k

tg   (= ) m

 k+ arctg m =  = arctg m +  k

ctg  (= ) m

 k+arcctg m <  <  + k

• Интегралы:

 xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c

 a^x dx = ax/ln a + c

 e^x dx = e^x + c

 cos x dx = sin x + cos

 sin x dx = — cos x + c

 1/x dx = ln|x| + c

 1/cos² x = tg x + c

 1/sin² x = — ctg x + c

 1/ (1-x² ) dx = arcsin x +c

 1/ (1-x² ) dx = — arccos x +c

 1/1+ x² dx = arctg x + c

 1/1+ x² dx = — arcctg x + c

Формулы по математике — шпаргалка в картинках

Формулы по математике — шпаргалка в картинках:

Видео: Шпаргалка по первой части профильного ЕГЭ

• Викторина по экологии с ответами: вопросы для младших классов
• Стихи для детей на конкурс чтецов — трогательные, юмористические, веселые
• Фанты для детей в стихах — смешные задания для веселого времяпровождения
• Трафареты для детей — для рисования, вырезания, раскрашивания
• Математическая викторина для детей «Познавательная математика»