Шпаргалки по математике — формулы, математические символы по геометрии, тригонометрии

Сборник шпаргалок по математике.

Содержание

Шпаргалки по математике — математические символы
Шпаргалки по математике — формулы по геометрии
Шпаргалки по математике — формулы по тригонометрии
Видео: Шпаргалка по первой части профильного ЕГЭ

Шпаргалки по математике — математические символы

Символы геометрии

Символ	Название символа	Значение / определение	пример
∠	угол	образованный двумя лучами	∠ABC = 30 °
	измеренный угол		ABC = 30 °
	сферический угол		AOB = 30 °
∟	прямой угол	= 90 °	α = 90 °
°	степень	1 оборот = 360 °	α = 60 °
град	степень	1 оборот = 360 градусов	α = 60 градусов
′	премьер	угловая минута, 1 ° = 60 ′	α = 60 ° 59 ′
″	двойной штрих	угловая секунда, 1 ′ = 60 ″	α = 60 ° 59′59 ″
	линия	бесконечная линия
AB	отрезок	линия от точки A до точки B
	луч	линия, которая начинается из точки A
	дуга	дуга от точки A до точки B	= 60 °
⊥	перпендикуляр	перпендикулярные линии (угол 90 °)	AC ⊥ BC
∥	параллельно	параллельные линии	AB ∥ CD
≅	соответствует	эквивалентность геометрических форм и размеров	∆ABC≅ ∆XYZ
~	сходство	одинаковые формы, разные размеры	∆ABC ~ ∆XYZ
Δ	треугольник	форма треугольника	ΔABC≅ ΔBCD
\| х — у \|	расстояние	расстояние между точками x и y	\| х — у \| = 5
π	константа пи	π = 3,141592654 …отношение длины окружности к диаметру круга.	c = π ⋅ d = 2⋅ π ⋅ r
рад	радианы	радианы угловая единица	360 ° = 2π рад
^c	радианы	радианы угловая единица	360 ° = 2π ^с
град	градианы / гононы	уголковый блок	360 ° = 400 градусов
^г	градианы / гононы	уголковый блок	360 ° = 400 ^г

Шпаргалки по математике — формулы по геометрии

Шпаргалки по математике — формулы по геометрии:

Формулы для площади круга и его частей

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Площадь круга		, где R – радиус круга, D – диаметр круга
Площадь сектора		, если величина угла α выражена в радианах
Площадь сектора		, если величина угла α выражена в градусах
Площадь сегмента		, если величина угла α выражена в радианах
Площадь сегмента		, если величина угла α выражена в градусах

Формулы для длины окружности и ее дуг

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Длина окружности		C = 2πR = π D, где R – радиус круга, D – диаметр круга
Длина дуги		L(α) = αR, если величина угла α выражена в радианах
Длина дуги		, если величина угла α выражена в градусах

Правильные многоугольники

Используемые обозначения

Число вершин правильного многоугольника	Сторона правильного многоугольника	Радиус вписанной окружности	Радиус описанной окружности	Периметр	Площадь
n	a	r	R	P	S

Формулы для стороны, периметра и площади правильного n – угольника

Величина	Рисунок	Формула	Описание
Периметр		P = an	Выражение периметра через сторону
Площадь			Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
Площадь			Выражение площади через сторону
Сторона			Выражение стороны через радиус вписанной окружности
Периметр			Выражение периметра через радиус вписанной окружности
Площадь			Выражение площади через радиус вписанной окружности
Сторона			Выражение стороны через радиус описанной окружности
Периметр			Выражение периметра через радиус описанной окружности
Площадь			Выражение площади через радиус описанной окружности

Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника

Величина	Рисунок	Формула	Описание
Периметр		P = 3a	Выражение периметра через сторону
Площадь			Выражение площади через сторону
Площадь			Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
Сторона			Выражение стороны через радиус вписанной окружности
Периметр			Выражение периметра через радиус вписанной окружности
Площадь		Посмотреть вывод формулы	Выражение площади через радиус вписанной окружности
Сторона			Выражение стороны через радиус описанной окружности
Периметр			Выражение периметра через радиус описанной окружности
Площадь			Выражение площади через радиус описанной окружности

Формулы для стороны, периметра и площади правильного шестиугольника

Величина	Рисунок	Формула	Описание
Периметр		P = 6a	Выражение периметра через сторону
Площадь			Выражение площади через сторону
Площадь		S = 3ar	Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
Сторона			Выражение стороны через радиус вписанной окружности
Периметр			Выражение периметра через радиус вписанной окружности
Площадь			Выражение площади через радиус вписанной окружности
Сторона		a = R	Выражение стороны через радиус описанной окружности
Периметр		P = 6R	Выражение периметра через радиус описанной окружности
Площадь			Выражение площади через радиус описанной окружности

Формулы для стороны, периметра и площади квадрата

Величина	Рисунок	Формула	Описание
Периметр		P = 4a	Выражение периметра через сторону
Площадь		S = a²	Выражение площади через сторону
Сторона		a = 2r	Выражение стороны через радиус вписанной окружности
Периметр		P = 8r	Выражение периметра через радиус вписанной окружности
Площадь		S = 4r²	Выражение площади через радиус вписанной окружности
Сторона			Выражение стороны через радиус описанной окружности
Периметр			Выражение периметра через радиус описанной окружности
Площадь		S = 2R²	Выражение площади через радиус описанной окружности

Формулы для площади треугольника

Фигура	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Произвольный треугольник			a – любая сторона, h_a – высота, опущенная на эту сторону
			a и b – две любые стороны, С – угол между ними
		.	a, b, c – стороны, p – полупериметр Формулу называют «Формула Герона»
			a – любая сторона, B, С – прилежащие к ней углы
			a, b, c – стороны, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр
			a, b, c – стороны, R – радиус описанной окружности
		S = 2R² sin A sin B sin C	A, B, С – углы, R – радиус описанной окружности
Равносторонний (правильный) треугольник			a – сторона
			h – высота
			r – радиус вписанной окружности
			R – радиус описанной окружности
Прямоугольный треугольник			a и b – катеты
			a – катет, φ – прилежащий острый угол
			a – катет, φ – противолежащий острый угол
			c – гипотенуза, φ – любой из острых углов

Формулы для площадей четырехугольников

Четырехугольник	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Прямоугольник		S = ab	a и b – смежные стороны
			d – диагональ, φ – любой из четырех углов между диагоналями
		S = 2R² sin φ Получается из верхней формулы подстановкой d=2R	R – радиус описанной окружности, φ – любой из четырёх углов между диагоналями
Параллелограмм		S = a h_a	a – сторона, h_a – высота, опущенная на эту сторону
		S = absin φ	a и b – смежные стороны, φ – угол между ними
			d₁, d₂ – диагонали, φ – любой из четырех углов между ними
Квадрат		S = a²	a – сторона квадрата
		S = 4r²	r – радиус вписанной окружности
		Посмотреть вывод формулы	d – диагональ квадрата
		S = 2R² Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R	R – радиус описанной окружности
Ромб		S = a h_a	a – сторона, h_a – высота, опущенная на эту сторону
		S = a² sin φ	a – сторона, φ – любой из четырёх углов ромба
			d₁, d₂ – диагонали
		S = 2ar Посмотреть вывод формулы	a – сторона, r – радиус вписанной окружности
			r – радиус вписанной окружности, φ – любой из четырех углов ромба
Трапеция			a и b – основания, h – высота
		S = m h	m – средняя линия, h – высота
			d₁, d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними
			a и b – основания, c и d – боковые стороны
Дельтоид		S = ab sin φ	a и b – неравные стороны, φ – угол между ними
			a и b – неравные стороны, φ₁ – угол между сторонами, равными a , φ₂ – угол между сторонами, равными b.
		S = (a + b) r	a и b – неравные стороны, r – радиус вписанной окружности
		Посмотреть вывод формулы	d₁, d₂ – диагонали
Произвольный выпуклый четырёхугольник			d₁, d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними
Вписанный четырёхугольник		,	a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, p – полупериметр, Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Метод координат

Расстояние между точками А (х₁; у₁) и В (х₂; у₂)
Координаты (х; у) середины отрезка АВ с концами А (х₁; у₁) и В (х₂; у₂)
Уравнение прямой
Уравнение окружности с радиусом R и с центром в точке (х₀; у₀)
Если А (х₁; у₁) и В (х₂; у₂), то координаты вектора	{х₂-х₁; у₂-у₁}
Сложение векторов	{x₁; y₁} + {x₂; y₂} = { x₁x₂; y₁y₂} {x₁; y₁} {x₂; y₂} = {x₁x₂; y₁y₂}
Умножение вектора {x; y} на число k	k {x; y} = k{ k x; k y}
Длина вектора
Скалярное произведение векторов и	∙ = ∙ где — угол между векторами и
Скалярное произведение векторов в координатах	{x₁; y₁} и {x₂; y₂} ∙ = x₁· x₂ + y₁· y₂
Скалярный квадрат вектора{x; y}
Косинус угла между векторами {x₁; y₁} и {x₂; y₂}
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов	{x₁; y₁} ┴ {x₂; y₂} ∙ = 0 или x₁· x₂ + y₁· y₂= 0

Шпаргалки по математике — формулы по тригонометрии

Шпаргалки по математике — формулы по тригонометрии:

Основные тригонометрические тождества

$s i n^{2} x + c o s^{2} x = 1$

$t g x = \frac{s i n x}{c o s x}$

$c t g x = \frac{c o s x}{s i n x}$

$t g x c t g x = 1$

$t g^{2} x + 1 = \frac{1}{c o s^{2} x}$

$c t g^{2} x + 1 =$

Формулы двойного аргумента (угла)

$s i n 2 x = 2 c o s x s i n x$

$\begin{matrix} s i n 2 x & = \frac{2 t g x}{1 + t g^{2} x} = \frac{2 c t g x}{1 + c t g^{2} x} = \frac{2}{t g x + c t g x} \end{matrix}$

$\begin{matrix} c o s 2 x & = {cos}^{2} x - s i n^{2} x = 2 c o s^{2} x - 1 = 1 - 2 s i n^{2} x \end{matrix}$

$\begin{matrix} c o s 2 x & = \frac{1 - t g^{2} x}{1 + t g^{2} x} = \frac{c t g^{2} x - 1}{c t g^{2} x + 1} = \frac{c t g x - t g x}{c t g x + t g x} \end{matrix}$

$\begin{matrix} t g 2 x & = \frac{2 t g x}{1 - t g^{2} x} = \frac{2 c t g x}{c t g^{2} x - 1} = \frac{2}{c t g x - t g x} \end{matrix}$

$\begin{matrix} c t g 2 x & = \frac{c t g^{2} x - 1}{2 c t g x} = \frac{2 c t g x}{c t g^{2} x - 1} = \frac{c t g x - t g x}{2} \end{matrix}$

Формулы тройного аргумента (угла)

$s i n 3 x = 3 s i n x - 4 s i n^{3} x$

$c o s 3 x = 4 c o s^{3} x - 3 c o s x$

$t g 3 x = \frac{3 t g x - t g^{3} x}{1 - 3 t g^{2} x}$

$c t g 3 x = \frac{c t g^{3} x - 3 c t g x}{3 c t g^{2} x - 1}$

Формулы суммы тригонометрических функций

$s i n α + s i n β = 2 s i n \frac{α + β}{2} \cdot c o s \frac{α - β}{2}$

$c o s α + c o s β = 2 c o s \frac{α + β}{2} \cdot c o s \frac{α - β}{2}$

$t g α + t g β = \frac{s i n (α + β)}{c o s α c o s β}$

$c t g α + c t g β = \frac{s i n (α + β)}{c o s α c o s β}$

$(s i n α + c o s α)^{2} = 1 + s i n 2 α$

Таблица обратных тригонометрических функций

Функция	Область определения	Область значений
arcsinx	[-1;1]	[-π2; π2]
arcosx	[-1;1]	[0;π]
arctgx	(-∞;∞)	[-π2; π2]
arcctgx	(-∞;∞)	(0;π)

Свойства обратных тригонометрических функций

sin(arcsinx)=x	-1 ≤ x ≤ 1
cos(arccosx)=x	-1 ≤ x ≤ 1
arcsin(sinx)=x	—π2 ≤ x ≤ π2
arccos(cosx)=x	0 ≤ x ≤ π
tg(arctgx)=x	x-любое
ctg(arcctgx)=x	x-любое
arctg(tgx)=x	—π2 ≤ x ≤ π2
arcctg(ctgx)=x	0 < x < π
arcsin(- x)= — arcsinx	-1 ≤ x ≤ 1
arccos(- x)= π — arccosx	-1 ≤ x ≤ 1
arctg(- x)= — arctgx	x — любое
arcctg(- x)= π — arcctgx	x — любое
arcsinx + arccosx = π2	-1 ≤ x ≤ 1
arctgx + arcctgx = π2	x — любое