ผู้ซื้อในวิชาคณิตศาสตร์ - สูตรสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

คอลเลกชันของแผ่นโกงในวิชาคณิตศาสตร์

แผ่นโกงคณิตศาสตร์ - สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

แผ่นโกงคณิตศาสตร์ - สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์:

• สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์หลัก

เครื่องหมาย	ชื่อของสัญลักษณ์	ความหมาย / คำจำกัดความ	ตัวอย่าง
=	เครื่องหมายเท่ากัน	ความเสมอภาค	5 = 2 + 3 5 เท่ากับ 2 + 3
≠	เครื่องหมายไม่เท่ากัน	ความไม่เท่าเทียม	5 ≠ 4 5 ไม่เท่ากับ 4
≈	เท่ากัน	การประมาณ	บาป (0.01) ≈ 0.01 x ≈  y หมายความว่า x เท่ากันโดยประมาณ y
/	ความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด	มากกว่า	5/ 4 5 มากกว่า 4
<	ความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด	น้อยกว่า	4 ‹5 4 น้อยกว่า 5
≥	ความไม่เท่าเทียม	มากขึ้นหรือเท่ากัน	5 ≥ 4, x ≥  y หมายความว่า x มากขึ้นหรือเท่ากัน y
≤	ความไม่เท่าเทียม	น้อยลงหรือเท่ากัน	4 ≤ 5, x ≤ y หมายความว่า x น้อยลงหรือเท่ากัน y
()	วงเล็บ	ก่อนคำนวณการแสดงออกภายใน	2 × (3 + 5) \u003d 16
[]	วงเล็บ	ก่อนคำนวณการแสดงออกภายใน	[(1 + 2) × (1 + 5)] \u003d 18
+	เครื่องหมายบวก	ส่วนที่เพิ่มเข้าไป	1 + 1 = 2
—	เครื่องหมายลบ	การลบ	2 — 1 = 1
±	บวก - ลบ	การดำเนินงานบวกและลบ	3 ± 5 \u003d 8 หรือ -2
±	ลบบวก	ทั้งลบและบวกการผ่าตัด	3 ∓ 5 \u003d -2 หรือ 8
*	ดาว	การคูณ	2 * 3 = 6
×	สัญลักษณ์ของเวลา	การคูณ	2 × 3 \u003d 6
⋅	จุดคูณ	การคูณ	2 ⋅ 3 = 6
÷	แผนก	แผนก	6 ÷ 2 \u003d 3
/	คุณสมบัติการหาร	แผนก	6/2 = 3
—	เส้นแนวนอน	ส่วน / เศษส่วน
ม็อด	ตามโมดูล	การคำนวณส่วนที่เหลือ	7 mod 2 \u003d 1
.	ระยะเวลา	จุดทศนิยมผู้เช่า	2,56 = 2 + 56/100
อัน b	ความแข็งแกร่ง	ตัวแทน	2 3= 8
a ^ b	รถม้า	ตัวแทน	2 ^ 3 \u003d 8
√  อัน	รากที่สอง	√  และ⋅ √  a \u003d A	√ 9 \u003d ± 3
3 √ อัน	รากลูกบาศก์	3 √ A ⋅3 √ a ⋅3 √ a \u003d a	3 √ 8 \u003d 2
4 √ อัน	รากที่สี่	4 √ A ⋅4 √ a ⋅4 √ a ⋅4 √ a \u003d a	4 √ 16 \u003d ± 2
p √ อัน	รากระดับที่ n (หัวรุนแรง)		สำหรับ n. \u003d 3, n. √ 8 \u003d 2
%	ร้อยละ	1% = 1/100	10% × 30 \u003d 3
‰	pMILLE	1 ‰ \u003d 1/1000 \u003d 0.1%	10 ‰× 30 \u003d 0.3
pPM	เป็นล้าน	1 ส่วนต่อล้าน \u003d 1/1000000	10 ส่วนต่อล้าน× 30 \u003d 0.0003
pPB	ต่อพันล้าน	1ppb \u003d 1/1000000000	10ppb × 30 \u003d 3 × 10-7
ppt	ถึงล้านล้าน	1ppt \u003d 10 -12	10ppt × 30 \u003d 3 × 10-10

สัญลักษณ์ของเรขาคณิต

เครื่องหมาย	ชื่อของสัญลักษณ์	ความหมาย / คำจำกัดความ	ตัวอย่าง
∠	มุม	ก่อตั้งขึ้นโดยสองรังสี	∠ABC \u003d 30 °
	มุมที่วัดได้		ABC \u003d 30 °
	มุมทรงกลม		AOB \u003d 30 °
∟	มุมฉาก	\u003d 90 °	α \u003d 90 °
°	ระดับ	1 การหมุนเวียน \u003d 360 °	α \u003d 60 °
ผู้สำเร็จการศึกษา	ระดับ	1 การหมุนเวียน \u003d 360 องศา	α \u003d 60 องศา
′	นายกรัฐมนตรี	นาทีเชิงมุม 1 ° \u003d 60 ′	α \u003d 60 ° 59 ′
″	สองจังหวะ	มุมที่สอง 1 ′\u003d 60″	α \u003d 60 ° 59′59″
	ไลน์	สายไม่มีที่สิ้นสุด
AB	ส่วนของเส้น	บรรทัดจากจุด A ถึงจุด B
	เรย์	บรรทัดที่เริ่มต้นจากจุดก
	ส่วนโค้ง	ส่วนโค้งจากจุด A ถึงจุด B	\u003d 60 °
⊥	ตั้งฉาก	เส้นตั้งฉาก (มุม 90 °)	AC ⊥ BC
∥	ขนาน	เส้นขนาน	ab ∥ซีดี
≅	สอดคล้องกัน	ความเท่าเทียมกันของรูปทรงเรขาคณิตและขนาด	∆abc≅ ∆xyz
~	ความคล้ายคลึงกัน	รูปแบบเดียวกันขนาดที่แตกต่างกัน	∆ABC ~ ∆xyz
Δ	สามเหลี่ยม	รูปร่างของสามเหลี่ยม	ΔABC≅ΔBCD
|  x —  ยู |	ระยะทาง	ระยะห่างระหว่างคะแนน x และ y	|  x —  ยู | \u003d 5
π	pI คงที่	π \u003d 3.141592654 ... อัตราส่วนของความยาวของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม	ค. =  π ⋅  ค. \u003d 2⋅ π ⋅  r
ยินดี	เรเดียน	หน่วย Radiana Angular	360 ° \u003d 2π rad
ค.	เรเดียน	หน่วย Radiana Angular	360 ° \u003d 2π กับ
ผู้สำเร็จการศึกษา	gradians / gonons	บล็อกมุม	360 ° \u003d 400 องศา
ก.	gradians / gonons	บล็อกมุม	360 ° \u003d 400 ก.

• สัญลักษณ์ของพีชคณิต

เครื่องหมาย	ชื่อของสัญลักษณ์	ความหมาย / คำจำกัดความ	ตัวอย่าง
x	ตัวแปร x	ความหมายที่ไม่รู้จักสำหรับการค้นหา	เมื่อ 2 x \u003d 4 จากนั้น x \u003d 2
≡	ความเท่าเทียมกัน	อย่างเหมือนกัน
≜	เท่ากับคำจำกัดความ	เท่ากับคำจำกัดความ
\u003d \u003d	เท่ากับคำจำกัดความ	เท่ากับคำจำกัดความ
~	เท่ากัน	วิธีที่อ่อนแอ	11 ~ 10
≈	เท่ากัน	การประมาณ	บาป (0.01) ≈ 0.01
∝	อย่างตามสัดส่วน	อย่างตามสัดส่วน	y ∝  x, เมื่อไร y =  kx, k คงที่
∞	คบ	สัญลักษณ์ของอินฟินิตี้
≪	น้อยกว่า	น้อยกว่า	1 1000000 ≪
≫	มากกว่า	มากกว่า	1000000 ≫ 1
()	วงเล็บ	ก่อนคำนวณการแสดงออกภายใน	2 * (3 + 5) = 16
[]	วงเล็บ	ก่อนคำนวณการแสดงออกภายใน	[(1 + 2) * (1 + 5)] = 18
{}	ผู้แขวน	ชุด
⌊  x ⌋	วงเล็บ	รอบจำนวนทั้งที่เล็กลง	⌊4.3⌋ = 4
⌈  x ⌉	วงเล็บเพดาน	รอบจำนวนทั้งด้านบน	⌈4.3⌉ = 5
x !	จุดอัศเจรีย์	เป็นแฟคทิเรต	4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24
|  x |	แถบแนวตั้ง	ค่าสัมบูรณ์	| -5 | = 5
f (  x )	ฟังก์ชั่น x	แสดงค่า x ใน f (x)	อี (  x ) \u003d 3 x +5
(  และ ∘  ก. )	องค์ประกอบการทำงาน	(  อี ∘  ก. ) (  x ) =  อี (  ก. (  x ))	f (  x ) \u003d 3 x ,  ก. (  x ) =  x -1 ⇒ ( f ∘  ก. ) (  x ) \u003d 3 ( x -หนึ่ง)
(  อัน ,  b )	ช่วงเวลาเปิด	(  อัน ,  พ.ส. ) = {  x |  อัน <  x <  b }	x ∈ (2.6)
[  อัน ,  b ]	ช่วงเวลาปิด	[  อัน ,  พ.ส. ] = {  x |  อัน ≤  x ≤  b }	x ∈ [2.6]
∆	เดลต้า	เปลี่ยน / ความแตกต่าง	∆  t =  t1 —  t0
∆	การจำแนก	Δ =  พ.ส.2 - สี่ กระแสสลับ
∑	ซิกม่า	การรวม - ผลรวมของค่าทั้งหมดในช่วง	Σ  x ฉัน \u003d xหนึ่ง+ x2+ ... + xp
∑∑	ซิกม่า	การรวมสองครั้ง
∏	ชื่อ PI	ผลิตภัณฑ์ - ผลงานของค่าทั้งหมดในช่วงซีรีส์	∏  x ฉัน \u003d xหนึ่ง∙ x2∙ ... ∙ xn.
อี	e ค่าคงที่/ หมายเลขออยเลอร์	อี \u003d 2.718281828 ...	อี \u003d ลิม (1 + 1 / x )  x ,  x → ∞
γ	ออยเลอร์-มาสคีโรนีถาวร	γ \u003d 0.5772156649 ...
φ	ส่วนสีทอง	ค่าคงที่ส่วนสีทอง
π	pI คงที่	π \u003d 3.141592654 ... อัตราส่วนของความยาวของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม	ค. =  π ⋅  ค. \u003d 2⋅ π ⋅  r

• สัญลักษณ์ของพีชคณิตเชิงเส้น

เครื่องหมาย	ชื่อของสัญลักษณ์	ความหมาย / คำจำกัดความ	ตัวอย่าง
·	จุด	ผลิตภัณฑ์สเกลาร์	อัน ·  b
×	ข้าม	ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์	อัน ×  b
แต่ ⊗  b	งานเทนเซอร์	เทนเซอร์ทำงาน A และ B	แต่ ⊗  b
	สินค้าภายใน
[]	วงเล็บ	เมทริกซ์ของตัวเลข
()	วงเล็บ	เมทริกซ์ของตัวเลข
|  แต่ |	ตัวกำหนด	ปัจจัยกำหนดของเมทริกซ์ A
det ( แต่ )	ตัวกำหนด	ปัจจัยกำหนดของเมทริกซ์ A
||  x ||	แถบแนวตั้งคู่	บรรทัดฐาน
แต่T	เปลี่ยน	เมทริกซ์โปร่งใส	(  อันT )  iJ = (  อัน )  จิ
อัน†	เมทริกซ์ Hermitova	เมทริกซ์คอนจูเกตโปร่งใส	(  อัน† )  iJ = (  อัน )  จิ
แต่*	เมทริกซ์ Hermitova	เมทริกซ์คอนจูเกตโปร่งใส	(  อัน* )  iJ = (  อัน )  จิ
แต่-1	เมทริกซ์ผกผัน	AA-1 =  ฉัน
อันดับ ( แต่ )	อันดับของเมทริกซ์	อันดับของเมทริกซ์ก	อันดับ ( แต่ ) \u003d 3
น่าเบื่อ ( ยู )	การวัด	มิติของเมทริกซ์ A	สลัว ( ยู ) \u003d 3

• สัญลักษณ์ของความน่าจะเป็นและสถิติ

เครื่องหมาย	ชื่อของสัญลักษณ์	ความหมาย / คำจำกัดความ	ตัวอย่าง
น. (  แต่ )	ฟังก์ชันความน่าจะเป็น	ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ก	น. (  อัน ) \u003d 0.5
น. (  อัน ⋂  พ.ส. )	ความน่าจะเป็นของการแยกเหตุการณ์	โอกาสที่เหตุการณ์ A และ B	น. (  อัน ⋂  พ.ส. ) \u003d 0.5
น. (  อัน ⋃  พ.ส. )	ความน่าจะเป็นของการรวมเหตุการณ์	โอกาสที่เหตุการณ์ A หรือ B	น. (  อัน ⋃  พ.ส. ) \u003d 0.5
น. (  อัน |  พ.ส. )	ฟังก์ชั่นของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข	ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เหตุการณ์ B นี้เกิดขึ้น	น. (  A | พ.ส. ) \u003d 0.3
f (  x )	ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF)	น. (  อัน ≤  x ≤  พ.ส. ) =  ∫ f (  x )  dX
f (  x )	ฟังก์ชั่นการกระจายแบบสะสม (CDF)	f (  x ) =  R (  x ≤  x )
μ	ประชากรเฉลี่ย	ค่าเฉลี่ยของจำนวนทั้งสิ้น	μ = 10
ก. (  x )	มูลค่าที่คาดหวัง	ค่าที่คาดหวังของค่าสุ่ม x	ก. (  x ) \u003d 10
ก. (  x | y )	ความคาดหวังตามเงื่อนไข	ค่าที่คาดหวังของค่าสุ่ม x โดยคำนึงถึง y	ก. (  x | y \u003d 2 ) \u003d 5
วาจา (  x )	การเบี่ยงเบน	การกระจายขนาดสุ่ม x	วาจา (  x ) \u003d 4
σ  2	การเบี่ยงเบน	การกระจายตัวของชุด	σ  2 \u003d 4
sTD (  x )	ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน	ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าสุ่ม x	sTD (  x ) \u003d 2
σ  x	ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน	ค่าของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าสุ่ม x	σ  x  =  2
	ค่ามัธยฐาน	ค่าเฉลี่ยของค่าสุ่ม x
cOV (  x ,  y )	การเมา	coarration ของค่าสุ่ม x และ y	cOV (  X, Y. ) \u003d 4
corr (  x ,  y )	ความสัมพันธ์	ความสัมพันธ์ของค่าสุ่ม x และ y	corr (  X, Y. ) \u003d 0.6
ρ x ,  y	ความสัมพันธ์	ความสัมพันธ์ของค่าสุ่ม x และ y	ρ x ,  y \u003d 0.6
∑	การรวม	การรวม - ผลรวมของค่าทั้งหมดในช่วง
∑∑	การรวมสองครั้ง	การรวมสองครั้ง
จอน	โหมด	ค่าที่พบบ่อยที่สุดในประชากร
นาย	ช่วงเฉลี่ย	นาย = (  x สูงสุด +  x นาที ) / 2
MKR	ตัวอย่างค่ามัธยฐาน	ครึ่งหนึ่งของประชากรต่ำกว่าค่านี้
ถาม 1	nizhny / First Road	25% ของประชากรต่ำกว่าค่านี้
2 หนึ่งในสี่	ค่ามัธยฐาน / สิบสอง	50% ของประชากรต่ำกว่าค่านี้ \u003d ตัวอย่างค่ามัธยฐาน
3 หนึ่งในสี่	ตอนบน / สาม	75% ของประชากรต่ำกว่าค่านี้
x	ค่าเฉลี่ยที่เลือก	ค่าเฉลี่ยเลขคณิต / ค่าเฉลี่ย	x \u003d (2 + 5 + 9) / 3 \u003d 5,333
กับ2	การกระจายแบบเลือก	ผู้ประเมินผลการจ่ายตัวอย่างของประชากร	พ.2 \u003d 4
กับ	การเบี่ยงเบนการสุ่มตัวอย่างมาตรฐาน	การประเมินค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างของประชากร	พ. \u003d 2
z x	การประเมินมาตรฐาน	z x = (  x - x) / พ. x
x ~	การกระจาย x	การกระจายของค่าสุ่ม x	x ~  N. (0.3)
N. (  μ ,  σ 2 )	การกระจายปกติ	การกระจาย Gausovo	x ~  N. (0.3)
ยู (  อัน ,  b )	กระจายสม่ำเสมอ	ความน่าจะเป็นที่เท่าเทียมกันในช่วง A, B	x ~  ยู (0.3)
eHR (λ)	การกระจายแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล	f (  x )  \u003d λe—  λx ,  x ≥0
แกมม่า (  ค. , λ)	การกระจายแกมม่า	f (  x )  \u003d λ cxc-1ก.—  λx / Γ (  ค. ),  x ≥0
χ  2 (  ถึง )	การกระจายของไคสแควร์	f (  x )  \u003d x เค / 2-1ก.—  x / 2 / (2 k / 2 Γ (  เค / 2))
f (  เค1 , K2 )	การกระจาย F
ตะกร้า (  n. ,  น. )	การกระจายแบบทวินาม	f (  เค )  =  n. ค. เค น. เค (หนึ่ง -p )  nK
ปัวซอง (λ)	การกระจายปัวซอง	อี (  ถึง )  เข้าสู่ระบบ เท่ากับ λ  ถึง อี—  λ /  ถึง !
หุ่น (  น. )	การกระจายเรขาคณิต	f (  เค )  \u003d P (หนึ่ง -p )  เค
HG (  N. ,  เค ,  n. )	การแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริกซ์
เบิร์น (  น. )	การกระจายของ Bernoulli

• สัญลักษณ์ของแคลคูลัสและการวิเคราะห์

เครื่องหมาย	ชื่อของสัญลักษณ์	ความหมาย / คำจำกัดความ	ตัวอย่าง
	จำกัด	ค่าขีด จำกัด ของฟังก์ชัน
ε	epsilon	มีจำนวนน้อยมากใกล้กับศูนย์	ε →  0
อี	e ค่าคงที่/ หมายเลขออยเลอร์	อี \u003d 2.718281828 ...	อี \u003d ลิม (1 + 1 / x )  x ,  x → ∞
y ‘	อนุพันธ์	อนุพันธ์ - การกำหนดลากรองจ์	(3 x3 ) ‘\u003d 9 x2
ยู »	อนุพันธ์ที่สอง	อนุพันธ์จากอนุพันธ์	(3 x3 ) "\u003d 18 x
ยู(  p )	n-I อนุพันธ์	ข้อสรุป n ครั้ง	(3 x3 )  (3) \u003d 18
	อนุพันธ์	อนุพันธ์ - การกำหนด Leibniz	ค. (3 x3 ) /  dX \u003d 9 x2
	อนุพันธ์ที่สอง	อนุพันธ์จากอนุพันธ์	ค.2 (3 x3 ) /  dX2 \u003d 18 x
	n-I อนุพันธ์	ข้อสรุป n ครั้ง
	อนุพันธ์เวลา	time Derivative - การกำหนดของนิวตัน
	อนุพันธ์ครั้งที่สอง	อนุพันธ์จากอนุพันธ์
ค. x y	อนุพันธ์	อนุพันธ์ - การกำหนดออยเลอร์
ค. x2 ยู	อนุพันธ์ที่สอง	อนุพันธ์จากอนุพันธ์
	อนุพันธ์ส่วนตัว		∂ (  x2 +  y2 ) / ∂  x \u003d 2 x
∫	ที่สำคัญ	ตรงข้ามกับแหล่งกำเนิด	∫  f (x) dx
∫∫	สองอินทิกรัล	การรวมฟังก์ชั่นของตัวแปรสองตัว	∫∫  f (x, y) dxdy
∫∫∫	ทริปเปิลอินทิกรัล	การรวมฟังก์ชั่น 3 ตัวแปร	∫∫∫  f (x, y, z) dxdydz
∮	วงจรปิด / อินทิกรัลเชิงเส้น
∯	อินทิกรัลกับพื้นผิวปิด
∰	อินทิกรัลของปริมาณปิด
[  อัน ,  b ]	ช่วงเวลาปิด	[  อัน ,  พ.ส. ] = {  x |  อัน ≤  x ≤  b }
(  อัน ,  b )	ช่วงเวลาเปิด	(  อัน ,  พ.ส. ) = {  x |  อัน <  x <  b }
ฉัน	หน่วยจินตนาการ	ฉัน ≡√ -1	ก. \u003d 3 + 2 ฉัน
z *	คอนจูเกตอย่างละเอียด	z =  อัน +  bI →  z * =  อัน —  bI	g * \u003d 3 - 2 ฉัน
z	คอนจูเกตอย่างละเอียด	z =  อัน +  bI →  z =  อัน —  bI	ก. \u003d 3 - 2 ฉัน
อีกครั้ง ( z )	ส่วนที่แท้จริงของหมายเลขที่ซับซ้อน	z =  อัน +  bI →อีกครั้ง ( z ) =  อัน	Re (3 - 2 ฉัน ) \u003d 3
ฉัน ( z )	ส่วนจินตนาการของคอมเพล็กซ์	z =  อัน +  bI → IM ( z ) =  พ.ส.	IM (3 - 2 ฉัน ) \u003d -2
|  z |	ค่าสัมบูรณ์ / ค่าของหมายเลขที่ซับซ้อน	|  z | = |  อัน +  bI | = √ (  อัน2 +  พ.ส.2 )	| 3 - 2 ฉัน | \u003d √13
arg ( z )	อาร์กิวเมนต์ของหมายเลขรวม	มุมรัศมีในระนาบที่ซับซ้อน	arg (3 + 2 ฉัน ) \u003d 33.7 °
∇	nabla / del	ผู้ประกอบการ / ความแตกต่าง	∇  อี (  x ,  ยู ,  ก. )
	เวกเตอร์
	เวกเตอร์เดียว
x *  ยู	การสานต่อ	ยู (  t ) =  x (  t ) *  ชม. (  t )
	การเปลี่ยนแปลง Laplace	f (  พ. ) =  {  f (  t )}
	การเปลี่ยนแปลงฟูริเยร์	x (  ω ) =  {  f (  t )}
δ	ฟังก์ชั่นเดลต้า
∞	คบ	สัญลักษณ์ของอินฟินิตี้

แผ่นโกงคณิตศาสตร์สำหรับโรงเรียนประถมศึกษา

แผ่นโกงคณิตศาสตร์สำหรับโรงเรียนประถมศึกษา:

• ตารางการคูณจาก 1 ถึง 20

Cheatheller ในวิชาคณิตศาสตร์โปรไฟล์

Scarling ในคณิตศาสตร์เฉพาะทาง:

• f-lla ของการโต้แย้งครึ่งหนึ่ง

sin² ern /2 \u003d (1 - cos ern) /2

cos² ern /2 \u003d (1 + cosement) /2

tg ern /2 \u003d sinorn /(1 + cosement) \u003d (1-cos ern) /sin isp

μ + 2 n, n  z

• การเปลี่ยนแปลง F-Li ของจำนวนเงินในการผลิต

sin x + sin y \u003d 2 sin ((x + y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x-sin y \u003d 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y \u003d 2cos (x + y)/2 cos (x-y)/2

cos x -cos y \u003d -2sin (x+y)/2 sin (x -y)/2

• สูตร preobr การผลิต. ในจำนวนเงิน

sin x sin y \u003d ½ (cos (x-y) -cos (x+y))

cos x cos y \u003d ½ (cos (x-y)+ cos (x+ y))

sin x cos y \u003d ½ (sin (x-y)+ sin (x+ y)))

• อัตราส่วนระหว่างฟังก์ชั่น

sin x \u003d (2 tg x/2)/(1+tg ²x/2)

cos x \u003d (1-tg ² 2/x)/(1+ tg² x/2)

sIN2X \u003d (2TGX)/(1+TG ²x)

sin² ern \u003d 1 /(1+ctg² mon) \u003d tg² mics /(1+tg² isp)

cos² ern \u003d 1 / (1+tg² isp) \u003d ctg²√ / (1+ctg² isp)

ctg2 piped

sIN3 PIPES \u003d 3SINORN -4SIN³√ \u003d 3COS² ERN SINORN -SIN³

cos3p \u003d 4cos³š -3 cosp \u003d cos³š -3cosporn ml

tg3mer \u003d (3tghper -tg³ m)/(1-3tg² m)

cTG3P \u003d (CTG³ ISPG Mill)/(3CTG² ISP)

sin ern /2 \u003d  ((1-cosement) /2)

cos ern /2 \u003d  ((1+cosp) /2)

tghp /2 \u003d  ((1-cosp) /(1+cosp)) \u003d

sinorn /(1+cosement) \u003d (1-cosement) /sinising

cTG Mill /2 \u003d  ((1+COSM) /(1-cosement)) \u003d

sinorn /(1-cosising) \u003d (1+cosement) /sinising

sin (arcsin isp) \u003d ₽

cos (arccos isp) \u003d ₽

tG (ARCTG ISP) \u003d ₽

cTG (ARCCTG ISP) \u003d ₽

arcsin (sinoff) \u003d ern; μ [- /2;  /2]

arccos (COS ISP) \u003d Š;  [0; ]

aRCTG (TG ISP) \u003d √; μ [- /2;  /2]

arcctg (CTG ISP) \u003d ₽;  [0; ]

อาร์คซิน (บาป )=

arccos (COS ) =

arctg (TG )=  — เค

μ (- /2 + k;  /2 + k)

arcctg (CTG ) =  — เค

μ ( k; (k+1) )

arcsinorn \u003d -arcsin ( -oft) \u003d  /2 -arcosoff \u003d

\u003d arctg ern / (1-pan ²)

arccosoff \u003d  -arccos (-m) \u003d  /2-assin ern \u003d

\u003d ARC CTG PIPES / (1-PAN ²)

arctgovern \u003d -arctg (-m) \u003d  /2 -arcctg pan \u003d

\u003d arcsin ern / (1+²)

aRC CTG √ \u003d  -ARC CCTG ( -OFF) \u003d

\u003d arc cos mon / (1-pan ²)

arctg ern \u003d arc ctg1/√ \u003d

\u003d arcsin ern / (1+²) \u003d arccos1 / (1+ISP)

arcsin ern + arccos \u003d  /2

arcctg ern + arctg pipes \u003d  /2

• สมการบ่งชี้

ความไม่เท่าเทียม: ถ้าก ^{f (x)}› (‹) ก ^อา)

ลอการิทึม: ความไม่เท่าเทียม:

บันทึก _อันf (x)› (‹) บันทึก _อัน  (x)

1. A› 1, จากนั้น: F (x)› 0

 (x)› 0

f (x)›  (x)

2. 0 ‹a ‹1, จากนั้น: \u003d "" f (x) \u003d ""› 0

 (x)› 0

f (x) ‹ (x)

3. บันทึก _{f (x)}  (x) \u003d a

ODZ:  (x)› 0

f (x)› 0

f (x)  1

ตรีโกณมิติ:

1. การสลายตัวเป็นตัวคูณ:

sin 2x -  3 cos x \u003d 0

2SIN X COS X -3 COS X \u003d 0

cos x (2 sin x -  3) \u003d 0

2. โซลูชันโดยการเปลี่ยน

3.SIN² X - SIN 2X + 3 COS² X \u003d 2

sin² x - 2 sin x cos x + 3 cos ² x \u003d 2 sin² x + cos² x

จากนั้นจะเขียนถ้า sin x \u003d 0 ดังนั้น cos x \u003d 0

และนี่เป็นไปไม่ได้ \u003d› สามารถแบ่งออกเป็น cos x

• ตรีโกณมิติประสาท:

บาป  ม.

2 K+ ₁ =  =  ₂+ 2 เค

2 K+ ₂ =  = ( ₁+2 )+ 2 เค

ตัวอย่าง:

I cos ( /8+x) ‹ 3/2

 k + 5 /6  /8 + x ‹7 /6 + 2 K

2 K+ 17 /24 ‹x  /24+ 2 K ;;;;;

II sin ern \u003d 1/2

2 K + 5 /6 \u003d √ \u003d 13 /6 + 2 K

cOS  (= ) ม.

2 K + ₁ <  <  ₂+2 เค

2 K+ ₂<  < ( ₁+2 ) + 2 เค

cos mon  -  2/2

2 K +5 /4 \u003d √ \u003d 11 /4 +2 K

tG  (= ) ม.

 k+ arctg m=  = Arctg M + เค

cTG (= ) ม.

 k+arcctg m ‹ <  + เค

• อินทิกรัล:

 x ^n.dx \u003d x ⁿ⁺¹/(n + 1) + c

 A ^xdx \u003d ax/ln a + c

 e ^x dx \u003d e ^x + C.

 cos x dx \u003d sin x + cos

 sin x dx \u003d - cos x + c

 1/x dx \u003d ln | x | + C.

 1/cos² x \u003d tg x + c

 1/sin² x \u003d - ctg x + c

 1/ (1-x²) dx \u003d arcsin x +c

 1/ (1-x²) dx \u003d -arccos x +c

 1/1 + x² dx \u003d arctg x + c

 1/1 + x² dx \u003d - arcctg x + c

แผ่นโกงคณิตศาสตร์ - เศษส่วน

แผ่นโกงคณิตศาสตร์ - เศษส่วน:

กฎ:	วิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง
1. ที่ นอกจากนี้ (การลบ)  เศษส่วนด้วย  ตัวหารที่เหมือนกัน เราขดลวด (ลบ) ตัวเศษของพวกเขาและปล่อยให้ตัวหารเหมือนกัน - หากเศษส่วนลดลงเราก็จะลดลง - หากเศษส่วนไม่ถูกต้องเราจะเน้นส่วนทั้งหมดโดยแบ่งตัวเศษเป็นตัวส่วนที่เหลือ
2. ที่ ส่วนที่เพิ่มเข้าไป (การลบ)  เศษส่วนด้วย  ตัวส่วนที่แตกต่างกัน ก่อนอื่นพาพวกเขาไปยังตัวหารร่วมแล้ว กฎข้อที่ 1.
3. ที่ ส่วนที่เพิ่มเข้าไป  ตัวเลขผสมกับตัวส่วนเดียวกัน เราขดลวดชิ้นส่วนทั้งหมดและชิ้นส่วนเศษส่วน ชิ้นส่วนเศษส่วนถูกประสานงานโดย กฎข้อที่ 1. - หากส่วนที่เป็นเศษส่วนลดลงเราก็จะลดลง - หากส่วนที่เป็นเศษส่วนเป็นเศษส่วนที่ไม่ถูกต้องเราก็แยกส่วนทั้งหมดออกจากส่วนและเพิ่มลงในส่วนทั้งหมดที่มีอยู่
4. ที่ การลบ  ตัวเลขผสมกับตัวส่วนเดียวกัน เราลบชิ้นส่วนทั้งหมดและชิ้นส่วนเศษส่วน เราลบชิ้นส่วนเศษส่วนโดย กฎข้อที่ 1. - หากส่วนที่เป็นเศษส่วนของหมายเลขแรกน้อยกว่าส่วนที่เป็นเศษส่วนของหมายเลขที่สองเราก็แยกจากส่วนทั้งหมด 1 และเราแปลมันพร้อมกับส่วนที่เป็นเศษส่วนเป็นเศษส่วนที่ไม่ถูกต้องจากนั้นเราก็ลบส่วนทั้งหมดและชิ้นส่วนเศษส่วน - หากส่วนที่เป็นเศษส่วนของหมายเลขแรกไม่อยู่เราจะแยกจากจำนวนทั้งหมด 1 และเราเขียนมันลงในรูปแบบของเศษส่วนที่มีตัวเลขเดียวกันในตัวเศษและตัวส่วน (ตัวเลขควรเท่ากับตัวส่วนของหมายเลขที่สอง) จากนั้นเราจะลบชิ้นส่วนทั้งหมดและชิ้นส่วนเศษส่วน
5. ที่ ส่วนที่เพิ่มเข้าไป (การลบ)  ตัวเลขผสมกับตัวส่วนที่แตกต่างกัน ก่อนอื่นเรานำชิ้นส่วนเศษส่วนของพวกเขาไปยังตัวหารร่วมแล้ว กฎ 3 ( ตามกฎ 4).
กฎ:	วิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง
7.ที่ การคูณ  เศษส่วนสำหรับจำนวน มีเพียงตัวเศษเท่านั้นที่จะคูณตัวเลขนี้และปล่อยให้ตัวหารเหมือนกัน - หากเศษส่วนลดลงเราก็จะลดลง - หากเศษส่วนไม่ถูกต้องเราจะเน้นส่วนทั้งหมดโดยแบ่งตัวเศษเป็นตัวส่วนที่เหลือ
แปด.ที่ การคูณ  เศษส่วน เราคูณตัวเศษด้วยตัวเศษและตัวหารด้วยตัวหาร - หากคุณสามารถลดลงได้ก่อนแล้วจึงคูณแล้วทวีคูณ - หากเศษส่วนไม่ถูกต้องเราจะเน้นส่วนทั้งหมดโดยแบ่งตัวเศษเป็นตัวส่วนที่เหลือ
9.ที่ การคูณ  จำนวนผสม เราโอนไปยังส่วนที่ไม่ถูกต้องแล้ว กฎ 8.
สิบ.ที่ แผนก  เศษส่วน การแบ่งจะถูกแทนที่ด้วยการคูณในขณะที่เราเปลี่ยนนัดที่สองแล้ว กฎ 6.
สิบเอ็ด.ที่ แผนก  เศษส่วนสำหรับจำนวน คุณต้องเขียนหมายเลขนี้ในรูปแบบของ frax ด้วยตัวส่วน 1 จากนั้น กฎ 10.
12.ที่ แผนก  จำนวนผสม เราโอนไปยังส่วนที่ไม่ถูกต้องแล้ว กฎ 10.
13.ที่ แผนก  หมายเลขผสมสำหรับจำนวนเต็ม เราแปลจำนวนผสมเป็นส่วนที่ผิดปกติและจากนั้นไปตาม กฎ 11.
สิบสี่ถึง จำนวนผสม  แปลภาษา ใน ส่วนที่ไม่ถูกต้อง คุณต้องคูณส่วนทั้งหมดและเพิ่มตัวเศษ บันทึกหมายเลขผลลัพธ์ในตัวเศษและปล่อยให้ตัวหารเหมือนกัน

แผ่นโกงการสอบ

แผ่นตรวจสอบการตรวจสอบ:

• เรขาคณิต

ตรีโกณมิติ:	$\mathrm{บาป}\mathrm{อัน}=\frac{\mathrm{อัน}}{\mathrm{ค.}}$    $\mathrm{cOS}\mathrm{อัน}=\frac{\mathrm{พ.ส.}}{\mathrm{ค.}}$
	$\text{tG}\mathrm{อัน}=\frac{\mathrm{บาป}\mathrm{อัน}}{\mathrm{cOS}\mathrm{อัน}}=\frac{\mathrm{อัน}}{\mathrm{พ.ส.}}$
ทฤษฎีบทโคไซน์:	${\mathrm{ค.}}^2={\mathrm{อัน}}^2+{\mathrm{พ.ส.}}^2-2\mathrm{อัน}\mathrm{พ.ส.}\cdot \mathrm{cOS}\mathrm{ค.}$
ทฤษฎีบทไซนัส:	$\frac{\mathrm{อัน}}{\mathrm{บาป}\mathrm{อัน}}=\frac{\mathrm{พ.ส.}}{\mathrm{บาป}\mathrm{พ.ส.}}=\frac{\mathrm{ค.}}{\mathrm{บาป}\mathrm{ค.}}=2R$		โดยที่ r คือรัศมีของวงกลมที่อธิบายไว้
สมการของวงกลม:	${(x-{}_0)}^2+{(y-{}_0)}^2=R^2$	ที่ไหน $(x_0;y_0)$ พิกัดศูนย์กลางของวงกลม
อัตราส่วนของมุมที่ถูกจารึกและมุมกลาง:	$\beta =\frac{\alpha }{2}=\frac{\cup \alpha }{2}$
วงกลมที่อธิบายสามเหลี่ยม:	$R=\frac{\mathrm{อัน}\mathrm{พ.ส.}\mathrm{ค.}}{4\mathrm{พ.}}$		ดูทฤษฎีบทของรูจมูกด้วย ศูนย์กลางอยู่ที่จุดตัดของค่ามัธยฐานตั้งฉาก
วงกลมที่จารึกไว้สามเหลี่ยม:	$r=\frac{\mathrm{พ.}}{\mathrm{น.}}$		โดยที่ p คือกึ่งความเร็วของรูปหลายเหลี่ยม จุดศูนย์กลางอยู่ที่สี่แยกของแบ่งแยก
วงกลมที่อธิบายสี่เหลี่ยมจัตุรัส:	$\alpha +\gamma =\beta +\delta ={180}^{\circ }$
วงกลมที่จารึกอยู่จัตุรัส:	$\mathrm{อัน}+\mathrm{ค.}=\mathrm{พ.ส.}+\mathrm{ค.}$
คุณสมบัติ bisectress:	$\frac{\mathrm{อัน}}{x}=\frac{\mathrm{พ.ส.}}{y}$
ทฤษฎีบทคอร์ดตัดกัน:	$\mathrm{อัน}\mathrm{ม.}\cdot \mathrm{พ.ส.}\mathrm{ม.}=\mathrm{ค.}\mathrm{ม.}\cdot \mathrm{ค.}\mathrm{ม.}$		ทฤษฎีบทเหล่านี้จะต้องสามารถแสดงได้
ทฤษฎีถ่านหินระหว่างแทนเจนต์และคอร์ด:	$\alpha =\frac{1}{2}\cup \mathrm{อัน}\mathrm{พ.ส.}$
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับแทนเจนต์และ secant:	$\mathrm{ค.}{\mathrm{ม.}}^2=\mathrm{อัน}\mathrm{ม.}\cdot \mathrm{พ.ส.}\mathrm{ม.}$
ทฤษฎีบทเซ็กเมนต์ Tushular:	$\mathrm{อัน}\mathrm{พ.ส.}=\mathrm{อัน}\mathrm{ค.}$

• สี่เหลี่ยมจัตุรัส:

• ความน่าจะเป็น

• กราฟฟังก์ชั่นฟังก์ชั่นการศึกษาที่โรงเรียน

ชื่อของฟังก์ชัน	สูตรของฟังก์ชัน	ตารางงาน	ชื่อของกราฟิก	บันทึก
เป็นเส้นตรง	y \u003d kx		ตรง	การพึ่งพาเชิงเส้น - สัดส่วนโดยตรง y \u003d kx, ที่ไหน เค ≠ 0 - ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน
เป็นเส้นตรง	y =  kX +  พ.ส.		ตรง	การพึ่งพาเชิงเส้น: ค่าสัมประสิทธิ์ เค และ พ.ส. - ตัวเลขจริงใด ๆ (เค \u003d 0.5 พ.ส. \u003d 1)
เป็นกำลังสอง	y \u003d x2		พาราโบลา	การพึ่งพากำลังสอง: พาราโบลาสมมาตรกับด้านบนที่จุดเริ่มต้นของพิกัด
เป็นกำลังสอง	y \u003d xn.		พาราโบลา	การพึ่งพากำลังสอง: n. - ตัวเลขตามธรรมชาติ› 1
สูงชัน	y \u003d xn.		พาราโบลาคิวบา	ระดับคี่: n. - ตัวเลขคี่ธรรมชาติ› 1
สูงชัน	y \u003d x1/2		ตารางงาน y = √ x	การพึ่งพาสูงชัน ( x1/2 = √ x).
สูงชัน	y \u003d k/x		ไฮเพอร์โบลา	กรณีในระดับลบ (1/x \u003d x-1). การพึ่งพาสัดส่วนแบบเปิด (เค \u003d 1)
ซึ่งบ่งบอก	y =  อัน x		กำหนดการของฟังก์ชั่นบ่งชี้	ฟังก์ชั่นบ่งชี้สำหรับ อัน \u003e หนึ่ง.
ซึ่งบ่งบอก	y \u003d a x		กำหนดการของฟังก์ชั่นบ่งชี้	ฟังก์ชั่นบ่งชี้สำหรับ 0 ‹ อัน \u003cหนึ่ง.
ลอการิทึม	y \u003d บันทึก อันx		ตารางฟังก์ชันลอการิทึม	ฟังก์ชั่นลอการิทึม: อัน \u003e หนึ่ง.
ลอการิทึม	y \u003d บันทึก อันx		ตารางฟังก์ชันลอการิทึม	ฟังก์ชั่นลอการิทึม: 0 ‹ อัน \u003cหนึ่ง.
ไซนัส	y \u003d บาป x		ไซนัส	ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติไซนัส
โคไซน์	y \u003d cos x		คอสซินัส	ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติเป็นโคไซน์
สัมผัส	y \u003d tg x		Tangensoid	ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติของแทนเจนต์
โคแทนเจนต์	y \u003d CTG x		Kotangensoid	ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติของ Cotangenes

• สูตรของงาน

• สูตรส่วนที่เหลืออยู่ a \u003d B C + Rr พ.ส.
• 
• สูตรปริมณฑล p \u003d a 4 p \u003d (a + b) 2
• 
• a \u003d p: 4 (ด้านข้างของสี่เหลี่ยม) a \u003d (p - b 2): 2 (ด้านข้างของสี่เหลี่ยม)
• สูตรปริมาณ:
• 
• - รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาน V \u003d A B C (A- วัน, B-Width, C- ความสูง)
• 
• a \u003d V: (a b) (ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า parallelEpiped)
• 
• - คิวบา v \u003d a a a a a
• 
• a \u003d V: (A) (ด้านข้างของลูกบาศก์)

สูตรตรีโกณมิติสำหรับนักเรียนมัธยมปลาย

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมหนึ่ง

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติของจำนวนและความแตกต่างของสองมุม

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมสองมุม

สูตรของการลดองศาสำหรับสี่เหลี่ยมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

• สูตรของการลดระดับปริญญาสำหรับลูกบาศก์ของไซนัสและโคไซน์อัน

• การแสดงออกของ Tangens ผ่านไซนัสและการตัดมุมสองมุม

• การเปลี่ยนแปลงปริมาณฟังก์ชั่นตรีโกณมิติเป็นงาน

• การเปลี่ยนแปลงของการทำงานของฟังก์ชันตรีโกณมิติในจำนวนเงิน

• การแสดงออกของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผ่านการสัมผัสครึ่งมุม

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมสามมุม

แผ่นโกงคณิตศาสตร์เพื่อเตรียมพร้อมสำหรับการสอบ

แผ่นโกงคณิตศาสตร์เพื่อเตรียมพร้อมสำหรับการสอบ:

สูตรของการคูณอย่างย่อ

(A+B) ² \u003d a ² + 2AB + B ²

(A-B) ² \u003d a ² - 2AB + B ²

อัน ² - B ² \u003d (a-b) (a+b)

อัน ³ - B ³ \u003d (a-b) (a ² + ab + b ²)

อัน ³ + B ³ \u003d (a+b) (a ² - AB + B ²)

(A + B) ³ \u003d a ³ + 3a ²b+ 3AB ²+ B ³

(A - B) ³ \u003d a ³ - 3a ²b+ 3AB ²- B ³

คุณสมบัติขององศา

อัน ⁰ \u003d 1 (a ≠ 0)

อัน ^m/N \u003d (a≥0, n ε n, m ε n)

อัน ^{- r} \u003d 1/ a ^R (A› 0, R ε Q)

อัน ^ม. · a ^n. \u003d a ^{m + N}

อัน ^ม. : ^n. \u003d a ^{m - N} (A ≠ 0)

( ^ม.) ^N. \u003d a ^mn

(AB) ^N. \u003d a ^n. พ.ส. ^n.

(A/B) ^n. \u003d a ^N./ B ^N.

รูปแรก

ถ้า f ’(x) \u003d f (x) ดังนั้น f (x) - หลัก

สำหรับ f (x)

การทำงานf(x) \u003d หลักf(x)

k \u003d kx + c

x ^n. \u003d x ^n.+1/n + 1 + c

1/x \u003d ln | x | + C.

ก. ^x \u003d e ^x + C.

อัน ^x \u003d a ^x/ ln a + c

1/√x \u003d 2√x + c

cos x \u003d sin x + c

1/ บาป ² x \u003d - ctg x + c

1/ cos ² x \u003d tg x + c

sin x \u003d - cos x + c

1/ x ² \u003d - 1/x

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

พ.ส.  _n.+1 \u003d B _n. · q โดยที่ n ε n

q - ส่วนของความก้าวหน้า

พ.ส.  _n. \u003d B ₁ · Q.  ^{n. - หนึ่ง} -สมาชิกของความก้าวหน้า

ผลรวมn-s สมาชิก

พ.  _n. \u003d (B _N. Q - B _{หนึ่ง} )/Q-1

พ.  _n. \u003d B _{หนึ่ง} (Q. ^N. -1)/Q-1

โมดูล

| A | \u003d A หากเป็นที่โปรดปราน

-a ถ้า a ‹0

สูตร COSและ บาป

sin (-x) \u003d -sin x

cos (-x) \u003d cos x

sin (x + π) \u003d -sin x

cos (x + π) \u003d -cos x

sin (x + 2πk) \u003d sin x

cos (x + 2πk) \u003d cos x

sin (x + π/2) \u003d cos x

ปริมาณและพื้นผิวของร่างกาย

1. ปริซึมตรงหรือเอียง ขนานกันv \u003d s · h

2. ปริซึมโดยตรง พ. _{ด้านข้าง}\u003d P · H, P คือความยาวปริมณฑลหรือเส้นรอบวง

3. ParallelEpiped เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

V \u003d A · B · C; P \u003d 2 (A · B + B · C + C · A)

P คือพื้นผิวที่สมบูรณ์

4. Cube: V \u003d A ³ ; p \u003d 6 a ²

5.  พีระมิดถูกต้องและผิด

S \u003d 1/3 S · H; S - พื้นที่ฐาน

6.พีระมิดถูกต้อง S \u003d 1/2 P · A

A - apofem ของพีระมิดที่ถูกต้อง

7. กระบอกทรงกลม v \u003d s · h \u003d πr ²ชม.

8. ทรงกระบอกวงกลม: พ. _{ด้านข้าง} \u003d 2 πrh

9. กรวยวงกลม: v \u003d 1/3 sh \u003d 1/3 πr ²ชม.

สิบ. กรวยวงกลม:พ. _{ด้านข้าง} \u003d 1/2 pl \u003d πrl

สมการตรีโกณมิติ

sin x \u003d 0, x \u003d πn

sin x \u003d 1, x \u003d π/2 + 2 πn

sin x \u003d -1, x \u003d -π/2 + 2 πn

cos x \u003d 0, x \u003d π/2 + 2 πn

cos x \u003d 1, x \u003d 2πn

cos x \u003d -1, x \u003d π + 2 πn

เพิ่มเติมทฤษฎีบท

cos (x +y) \u003d cosx · cozy - sinx · siny

cos (x -y) \u003d cosx · cozy + sinx · siny

sin (x + y) \u003d sinx · cozy + cosx · siny

sin (x -y) \u003d sinx · cozy -cosx · siny

tg (x ± y) \u003d tg x ± tg y/ 1 ^—₊ tg x · tg y

ctg (x ± y) \u003d tg x ^—₊ tg y/ 1 ± tg x · tg y

sin x ± sin y \u003d 2 cos (x ± y/2) · cos (x ^—₊y/2)

cos x ± cozy \u003d -2 sin (x ± y/2) · sin (x ^—₊y/2)

1 + cos 2x \u003d 2 cos ² x; cOS ²x \u003d 1+cos2x/2

1 - cos 2x \u003d 2 บาป ² x; บาป ²x \u003d 1- cos2x/2

6.รูปสี่เหลี่ยมคางหมู

a, B - ฐาน; H - ความสูง, C - เส้นกลาง S \u003d (A+B/2) · H \u003d C · H

7.สี่เหลี่ยม

a - Side, D - Diagonal S \u003d A ² \u003d D ²/2

8. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

a - Side, D ₁, D ₂ - เส้นทแยงมุมαคือมุมระหว่างพวกเขา s \u003d d ₁ค. ₂/2 \u003d a ²sinα

9. หกเหลี่ยมที่ถูกต้อง

a - Side S \u003d (3√3/2) A ²

สิบ.วงกลม

s \u003d (l/2) r \u003d πr ² \u003d πd ²/4

สิบเอ็ด.ภาค

s \u003d (πr ²/360) α

กฎการสร้างความแตกต่าง

(f (x) + g (x) ’\u003d f’ (x) + g ’(x)

(k (f (x) ’\u003d kf’ (x)

(f (x) g (x) ’\u003d f’ (x) g (x) + f (x) · g ’(x)

(f (x)/g (x) ’\u003d (f’ (x) g (x) - f (x) · g ’(x))/g ² (x)

(x ^n.) ’\u003d nx ^n-1

(tg x) ’\u003d 1/ cos ² x

(ctg x) ’\u003d - 1/ sin ² x

(f (kx + m)) ’\u003d kf’ (kx + m)

สมการแทนเจนต์เพื่อฟังก์ชั่นกราฟิก

y \u003d f ’(a) (x-a) + f (a)

สี่เหลี่ยมพ. ตัวเลข จำกัด โดยตรงx=อัน, x=พ.ส.

s \u003d ∫ (f (x) - g (x)) dx

สูตรนิวตัน

∫_อัน^พ.ส. f (x) dx \u003d f (b) - f (a)

t  π/4  π/2  3π/4  π  cOS √2/2 0 --√ 2/2 1 บาป √2/2 1 √2/2 0 t  5π/4  3π/2  7π/4  2π  cOS --√2/2 0 √2/2 1 บาป --√ 2/2 -1 --√2/2 0 t  0  π/6  π/4  π/3  tG 0 √3/3 1 √3 cTG - √3 1 √3/3
ใน x \u003d b x \u003d (-1) ^n. arcsin b + πn

cos x \u003d b x \u003d ± arcos b + 2 πn

tg x \u003d b x \u003d arctg b + πn

ctg x \u003d b x \u003d arcctg b + πn

ทฤษฎีบท ไซนูฟ: a/sin α \u003d b/sin β \u003d c/sin γ \u003d 2r

ทฤษฎีบทโคไซน์: กับ ²\u003d a ²+B ²-2ab cos y

อินทิกรัลที่ไม่แน่นอน

∫ dx \u003d x + c

∫ x ^n. dx \u003d (x  ^n. +1/n + 1) + c

∫ dx/x ² \u003d -1/x + c

∫ dx/√x \u003d 2√x + c

∫ (kx + b) \u003d 1/k f (kx + b)

∫ sin x dx \u003d - cos x + c

∫ cos x dx \u003d sin x + c

∫ dx/sin ² x \u003d -ctg + c

∫ dx/cos ² x \u003d tg + c

∫ x ^R dx \u003d x ^r+1/r + 1 + c

ลอการิทึม

1. บันทึก _อัน A \u003d 1

2. บันทึก _อัน 1 \u003d 0

3. บันทึก _อัน (b ^n.) \u003d n log _อัน พ.ส.

4. บันทึก _อัน^n. b \u003d 1/n บันทึก _อัน พ.ส.

5. บันทึก _อัน b \u003d บันทึก _ค. b/ log _ค. อัน

6. บันทึก _อัน b \u003d 1/ log _พ.ส. อัน

ระดับ  0  30  45  60  บาป 0 1/2 √2/2 √3/2 cOS 1 √3/2 √2/2 1/2 tG 0 √3/3 1 √3 t  π/6  π/3 2π/3 5π/6 cOS √3/2 1/2 -1/2 --√ 3/2 บาป 1/2 √3/2 √3/2 1/2 90  120  135  150  180 1 √3/2 √2/2 1/2 0 0 -1/2 -√2/2 --√ 3/2 -1 --ost3 -1 -1 √3/3 0 t  7π/6  4π/3  5π/3  11π/6  cOS --√ 3/2 -1/2 1/2 √3/2 บาป -1/2 --√ 3/2 --√ 3/2 -1/2

สูตรการโต้แย้งสองครั้ง

cos 2x \u003d cos ²x - บาป ² x \u003d 2 cos ² x -1 \u003d 1 -2 บาป ² x \u003d 1 - tg ² x/1 + tg ² x

sin 2x \u003d 2 sin x · cos x \u003d 2 tg x/ 1 + tg ²x

tg 2x \u003d 2 tg x/ 1 - tg ² x

ctg 2x \u003d ctg ² x - 1/2 ctg x

บาป 3x \u003d 3 บาป x - 4 บาป ³ x

cos 3x \u003d 4 cos ³ x - 3 cos x

tg 3x \u003d 3 tg x - tg ³ x / 1 - 3 tg ² x

sin s cos t \u003d (sin (s+t)+sin (s+t))/2

sin S sin t \u003d (cos (s-t) -cos (s+t))/2

cos s cos t \u003d (cos (s + t) + cos (s-t))/2

สูตรความแตกต่าง

c ’\u003d 0 ()’ \u003d 1/2

x ’\u003d 1 (sin x)’ \u003d cos x

(kx + m) ’\u003d k (cos x)’ \u003d - sin x

(1/x) ’\u003d - (1/x ²) (ln x) ’\u003d 1/x

(E. ^x) ’\u003d e ^x; (x ^n.) ’\u003d nx ^N-1; (บันทึก _อัน x) ’\u003d 1/x ln a

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

1. รูปสามเหลี่ยมสี่เหลี่ยม

S \u003d 1/2 A · B (A, B - Cuttings)

2. สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

s \u003d (a/2) ·√ b ² - ²/4

3. สามเหลี่ยมด้านเท่า

s \u003d (a ²/4) ·√3 (A - ด้าน)

สี่.สามเหลี่ยมโดยพลการ

a, B, C - ด้านข้าง, A - ฐาน, H - ความสูง, A, B, C - มุมที่วางอยู่ด้านข้าง; p \u003d (a+b+c)/2

S \u003d 1/2 A · H \u003d 1/2 A ²b sin c \u003d

อัน ²sinb sinc/2 sin a \u003d √p (p-a) (p-b) (p-c)

5. สี่เหลี่ยมด้านขนาน

a, B - ด้านข้าง, α - มุมหนึ่ง; H - ความสูง s \u003d a · h \u003d a · b · sin α

cos (x + π/2) \u003d -sin x

สูตร TGและ CTG

tg x \u003d sin x/ cos x; ctg x \u003d cos x/sin x

tg (-x) \u003d -tg x

ctg (-x) \u003d -ctg x

tg (x + πk) \u003d tg x

ctg (x + πk) \u003d ctg x

tg (x ±π) \u003d ± tg x

ctg (x ±π) \u003d ± ctg x

tg (x + π/2) \u003d - ctg x

ctg (x + π/2) \u003d - tg x

บาป ² x + cos ² x \u003d 1

tg x · ctg x \u003d 1

1 + TG ² x \u003d 1/ cos ² x

1 + CTG ² x \u003d 1/ บาป ²x

tG ² (x/ 2) \u003d 1 - cos x/ 1 + cos x

cOS ² (x/ 2) \u003d 1 + cos x/ 2

บาป ² (x/ 2) \u003d 1 - cos x/ 2

สิบเอ็ด.ลูกบอล: v \u003d 4/3 πr ³ \u003d 1/6 πd ³

p \u003d 4 πr ² \u003d πd ²

12.ส่วนลูกบอล

v \u003d πh ² (r-1/3h) \u003d πh/6 (h ² + 3r ²)

พ. _{ด้านข้าง} \u003d 2 πrh \u003d π (r ² + h ²); P \u003d π (2R ² + h ²)

13.ชั้นบอล

v \u003d 1/6 πh ³ + 1/2 π (r ² + h ²) · ชม;

พ. _{ด้านข้าง} \u003d 2 π· r · h

14. ภาคบอล:

v \u003d 2/3 πr ² h ’โดยที่ h’ คือความสูงของส่วนที่มีอยู่ในภาค

สูตรของรากของสมการสแควร์

(a a a azeals, b≥0)

(a≥0)

ขวาน ² + bx + c \u003d 0 (a ≠ 0)

ถ้า d \u003d 0 ดังนั้น x \u003d -b/2a (d \u003d b ²-4ac)

ถ้า D› 0 แล้ว x _1,2 \u003d -b ± /2a

ทฤษฎีบทเวียต้า

x ₁ + x ₂ \u003d -b/a

x ₁ · x ₂ \u003d c/a

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

อัน _n.+1\u003d a  _n. + d โดยที่ n เป็นจำนวนธรรมชาติ

d คือความแตกต่างของความก้าวหน้า;

อัน _n. \u003d a _{หนึ่ง} + (n-1) · d-formula ของอวัยวะเพศชายที่ n

ผลรวม N.สมาชิก

พ.  _n. \u003d (a _{หนึ่ง} + a _N. )/2) n

พ.  _n. \u003d ((2a _{หนึ่ง} + (n-1) d)/2) n

รัศมีของวงกลมที่อธิบายไว้ใกล้รูปหลายเหลี่ยม

r \u003d a/ 2 sin 180/ n

รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้

r \u003d a/ 2 tg 180/ n

วงกลม

l \u003d 2 πr s \u003d πr ²

พื้นที่ของกรวย

พ. _{ด้านข้าง} \u003d πrl

พ. _คอน \u003d πr (l+r)

มุมสัมผัส- ทัศนคติของขาตรงข้ามกับที่อยู่ติดกัน Kotangenes - ตรงกันข้าม

สูตรในวิชาคณิตศาสตร์ - แผ่นโกงในรูปภาพ

สูตรในวิชาคณิตศาสตร์ - แผ่นโกงในรูปภาพ:

วิดีโอ: แบบทดสอบดนตรีสำหรับเกรดประถมศึกษา

อ่านบนเว็บไซต์ของเรา:

• แบบทดสอบนิเวศวิทยาพร้อมคำตอบ: คำถามสำหรับเกรดประถมศึกษา
• บทกวีสำหรับเด็กสำหรับการประกวดผู้อ่าน - สัมผัสอารมณ์ขันตลกตลก
• Fands for Children in Poetry - งานตลกสำหรับงานอดิเรกที่สนุกสนาน
• ลายฉลุสำหรับเด็ก - สำหรับการวาดการตัดการระบายสี
• เพลงเกี่ยวกับอาชีพสำหรับเด็ก
• แบบทดสอบวรรณกรรมสำหรับบทกวี