В этой статье будет раскрыта одна из математических тематик. Вы узнаете, как найти площадь параллелограмма. Данную тематику преподают в восьмом классе. Тем, кто не разобрался с ней, будет полезна эта статья.
Содержание
В школе бывает так, что учитель объясняет урок, а дети не понимают. Потому дальше выходит, что ребенок не усваивает не только одну тему, а и те, что идут дальше. Особенно в геометрии. Ведь многие доказательства выводятся на основании правил и предыдущих теорем. Дальше узнаем, как найти площадь параллелограмма. Но изначально для того, чтобы узнать площадь, следует знать определение, что такое параллелограмм. Эта фигура представляет собой четырехугольник с параллельными сторонами и равными противоположными углами. Теперь давайте найдем площадь фигуры разными методами.
Как найти площадь параллелограмма – свойства фигуры
Итак, параллелограмм выглядит следующим образом:
Еще древнегреческий ученый математики Евклид описал несколько свойств данной фигуры в книге «Начала». А точнее две характеристики параллелограмма:
- фигуру можно сравнить и с прямоугольником, ведь все напротив лежащие стороны ее параллельны, равны, еще и пересекаются под углами 90°.
- также правило применимо и к квадрату, ромбу, отличие лишь в углах.
ВАЖНО: Прежде, чем приступить к доказательству, определимся с термином – площадь. Площадью называется размер самой фигуры, точнее плоскость занятая ею, что ограничивается самими сторонами данной фигуры.
Эти свойства недаром описаны выше, благодаря им будет легче узнать, как рассчитывать S – площадь фигуры.
Имеется несколько базовых формул, чтобы вычислить S – площадь параллелограмма:
- Когда даны: высота и длина параллелограмма
- Когда даны: длина одной и другой стороны фигуры, углы фигуры
- Когда даны: размеры обеих диагоналей, один из углов их пересечения.
Теперь о каждом из этих способов подробнее.
Расчет площади параллелограмма, если известны стороны, высота
Чтобы рассчитать величину S фигуры (площадь параллелограмма), следует знать все ее свойства. Выше уже были рассмотрены эти правила. Итак, первая формула – это нахождение площади фигуры по стороне и высоте. Пусть ВН – высота, а АВ – сторона. Высоту проводят на основание под углом 90º.
Выше предоставлено доказательство данной аксиомы. Из него видно, что S = a • h. Кстати, площадь измеряют в квадратных единицах.
Расчет площади параллелограмма по диагоналям
Найти площадь параллелограмма можно различными методами. И этот вариант является распространенным. Для того, чтобы рассчитать S следует знать величину угла и длины диагоналей параллелограмма. Эта аксиома тоже важна в геометрии, зная ее вы с легкостью сможете решить задачи на контрольных и самостоятельных работах.
Для доказательства следует рассмотреть два равных треугольника, что получились при разделении параллелограмма на две части.
По трем сторонам. Значит и углы в этих треугольниках равны, смотрите рисунок выше. А площадь треугольника равняется половине произведения стороны a на высоту h. А высота в данных треугольниках – это и есть диагональ параллелограмма. Отсюда и выходит, что S параллелограмма равняется площади этих двух треугольников или 1/2 sin α на произведение диагоналей.
- S = 1/2 • sin α • d1 • d2
Что и требовалось найти.
Расчет площади параллелограмма, если известны стороны, угол
Если вы знаете чему равны длины обеих сторон, угол, то сможете найти и S параллелограмма. Площадь параллелограмма в этом случае равна:
- S = b • a • sin∠α.
Для того, чтобы доказать данную аксиому, достаточно по формулам найти высоту фигуры и подставить найденные данные в известную формулу параллелограмма.
По правилам геометрии, если рассматривать треугольники, то sin угла будет равен отношению противолежащего h – катета к гипотенузе. А вот катет, это и есть высота фигуры. Вот и выходит:
- sin β = h/a
Из этого равенства можно высчитать, чему равняется высота:
- h = sin β • a
Теперь остается подставить все элементы в формулу и выйдет следующее:
- S параллелограмма = h • b • sin β
Видео: Площадь параллелограмма
