Равносторонний треугольник: все правила

В этой статье описаны все свойства, правила и определения равностороннего треугольника.

Математика — любимый предмет многих школьников, особенно тех, у которых получается решать задачи. Геометрия — это также интересная наука, но не все дети могут понять новый материал на уроке. Поэтому им приходится дорабатывать и доучивать дома. Давайте повторим правила равностороннего треугольника. Читайте ниже.

Все правила равностороннего треугольника: свойства

В самом слове «равносторонний» скрывается определение этой фигуры.

Определение равностороннего треугольника: Это треугольник, у которого все стороны равны друг другу.

Из-за того, что равносторонний треугольник – это в некотором роде равнобедренный треугольник, у него появляются признаки последнего. Например, в этих треугольниках биссектриса угла является еще медианой и высотой.

Вспомним: Биссектриса — луч, делящий угол пополам, медиана – луч, выпущенный из вершины, делящий противолежащую сторону пополам, а высота — это перпендикуляр, исходящий из вершины.

Вторым признаком равностороннего треугольника является то, что все его углы равны между собой и каждый из них имеет градусную меру в 60 градусов. Вывод об этом можно сделать из общего правила о сумме углов треугольника, равной 180 градусам. Следовательно, 180:3=60.

Следующее свойство: центром равностороннего треугольника, а также вписанной в него и описанной около него окружностей является точка пересечения всех его медиан (биссектрис).

Четвертое свойство: радиус описанной около равностороннего треугольника окружности превышает в два раза радиус вписанной окружности в эту фигуру. Убедиться в этом можно, посмотрев на чертеж. ОС является радиусом описанной около треугольника окружности, а ОВ1 — радиусом вписанной. Точка О — место пересечения медиан, значит, разделяет ее как 2:1. Из этого делаем вывод, что ОС = 2ОВ1.

Пятым свойством является то, что в этой геометрической фигуре легко посчитать составляющие элементы, если в условии указана длина одной стороны. При этом чаще всего используется теорема Пифагора.

Шестое свойство: площадь такого треугольника вычисляется по формуле S=(а^2*3) /4.
Седьмое свойство: радиусы окружности, описанной около треугольника, и окружности, вписанной в треугольник, соответственно равны
R = (a3) /3 и r = (a3) /6.

Рассмотрим примеры задач:

Пример 1:

Задача: Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник равен 7 см. Найдите высоту треугольника.

Решение:

Радиус вписанной окружности связан с последней формулой, следовательно, OM = (BC3) /6.
BC = (6 * OM) /3 = (6*7) /3 = 143.
AM = (BC3) /2; AM = (143*3) /2 = 21.
Ответ: 21 см.

Эту задачу можно решить по-другому:

Исходя из четвертого свойства, можно сделать вывод, что ОМ = 1/2 АМ.
Следовательно, если ОМ равно 7, то АО равно 14, а АМ равно 21.

Пример 2:

Задача: Радиус описанной около треугольника окружности равен 8. Найдите высоту треугольника.

Решение:

Пусть АВС – равносторонний треугольник.
Как и в предыдущем примере, можно идти двумя путями: более простым – АО = 8 => ОМ =4. Тогда АМ = 12.
И более длинным – чтобы найти АМ через формулу. АМ = (АС3) /2 = (83*3) /2 = 12.
Ответ: 12.

Как видите, зная свойства и определение равностороннего треугольника, вы сможете решить любую задачу по геометрии по этой теме.