3 признака параллельности двух прямых на плоскости: доказательство

В этой статье будет предоставлена информация о признаках параллельности прямых на плоскости. Смотрите доказательства параллельности прямых, представленные примеры и рисунки для наглядного пояснения данной темы.

Из учебника по геометрии следует, что параллельными прямыми на плоскости считаются прямые, что не имеют общих точек пересечения. Если же трактовать правило в трехмерном пространстве, то параллельными прямыми считают такие две линии, которые расположены на одной плоскости и, опять-таки, не имеют общих точек.

У параллельности линий есть признаки, аксиомы, свойства. Далее подробней изучим 3 признака параллельности двух прямых на плоскости.

Признаки параллельности двух прямых на плоскости: что такое признаки, аксиомы, свойства?

Сначала рассмотрим, какая разница между понятиями: признак, свойство и аксиома. Это позволит не путаться в дальнейшем, что очень важно для точных наук:

• Признаки – это некие факты, именно по признакам и можно установить истинное ли суждение об интересующих предметах или нет.
• Свойства – это точные формулировки (правила), которые невозможно опровергнуть.
• Аксиома – это должное утверждение, совершенно не требующее доказательств. Именно на аксиомах и строятся, в частности в геометрии, доказательства признаков и свойств.

Как видите, понятия имеют отличия друг от друга. Дальше больше изучим 3 признака параллельности двух прямых на плоскости, чтобы доказать признаки, придется применять аксиомы, свойства.

Признаки параллельности двух прямых на плоскости: определение

Из геометрии известно, что существует 3 признака параллельности двух прямых на плоскости. Это изучалось в седьмом классе.

Признаки параллельности двух прямых – 7 класс:

1. В первом признаке речь идет о том, что когда две линии перпендикулярны третьей, то они между собой не имеют никаких общих точек пересечения, и они параллельные.
2. Во втором признаке упоминается об углах. Точнее, если две линии пересекает третья, накрест лежащие углы, образовавшиеся в результате пересечения равные, или же соответственные углы равные – линии (||) параллельные.
3. Сумма односторонних углов равная 180º, то эти линии (||) между собой параллельные.

ВАЖНО: Существуют обратные признаки параллельности линий. Они трактуются в обратной очередности. Точнее, две линии считаются параллельными. Об этом будет говориться в последнем пункте.

Первый признак параллельности двух прямых на плоскости — доказательство

Признаки параллельности двух прямых на плоскости очень часто применяются для решения разнообразных геометрических задач, потому нужно не только знать, как его формулировать, а еще уметь и доказать данное утверждение.

Еще раз повторим – первый признак звучит так:

Когда две линии перпендикулярны третьей, то они между собой не имеют общих точек пересечения и параллельны. К данному изречению следует добавить, если линии лежат в одной плоскости, так как в трехмерном пространстве данное утверждение не совсем верно.

Доказательство признака:

Доказать признак можно легко. Для наглядности ниже представлен рисунок:

• Существует аксиома, что к линии на плоскости можно провести перпендикулярную прямую из заданной точки, что не принадлежит линии, и причем только одну.

Представьте себе, что из одной точки можно провести две линии от другой линии. Но тогда не получится прямых углов, соответственно последнее утверждение не верное, а признак является верным.

Второй признак параллельности двух прямых – доказательство

Все признаки параллельности двух прямых на плоскости не так сложно и запомнить, но вот второй является самым сложным в плане доказательств.

Когда две линии пересекает косая, накрест лежащие углы равные, или же соответственные углы равные, то линии между собой (||) параллельные.

Смотрите изображение далее, здесь подробно описано, какие образуются углы при пересечении линией двух прямых:

Доказательство:

Изучив рисунок выше, теперь вы сможете разобраться, какие углы накрест лежащие, а какие соответственные. Ниже приведено изображение, по которому легко доказать, второй признак параллельности линий.

Пусть дано: ∠ACK=∠KDB (накрест лежащие углы ∠ACK, ∠KDB равны), то линия b||a.

• Итак, точки C, D – это точки пересечений двух линий a, b. Вначале на отрезке путем несложных вычислений находим среднюю точку отрезка DC.
• Это будет K, необходимо через середину отрезка (через точку K) провести линию ⊥ к b.
• Углы в вершине с точкой K будут равны друг другу, потому что они вертикальные, а по условию задано, что ∠ACK=∠KDB. Еще и CK=KD. Из этого следует, что треугольники, образовавшиеся в результате пересечения двух линий, равны.
• Угол CAK равен 90º по условию, поскольку линия AB перпендикулярна прямой a. Значит и углы, образованные линией AB с прямыми a, b, равны 90º и треугольники CAK и KBD прямоугольные.
• А по первому признаку перпендикуляр можно провести только к двум параллельным линиям.

Доказательство:

Когда соответственные углы образованные линиями у основания равны, то линия a||b.

• Опять-таки, первое, что следует сделать провести перпендикуляр к линии a.
• Из равенства треугольников CAK и KBD вытекает, что:
• Угол у основания будет равен 90º по условию и соответственный ∠KBD=90º.
• Значит линия BA является перпендикуляром и для линии a, и для прямой b.

Вывод: прямые (||) параллельные.

Третий признак параллельности двух прямых – доказательство

Третье утверждение – когда сумма (∑) односторонних углов равная 180º, значит эти линии (||) параллельны, доказать очень просто.

• Нужно провести перпендикулярную линию к прямой a, углы, образовавшиеся у основания на линии a, будут равны 90º и 90º=180º.
• Углы в вершине с точкой K будут равны друг другу, потому что они вертикальные. Еще и CK=KD по условию. Из этого следует, что треугольники образовавшиеся в результате пересечения двух линий, равны.
• Значит линия BA является перпендикуляром и для линии a, и для линии b.

Исходя из рисунка, ∠1 и ∠4 смежные. Как мы уже знаем, сумма смежных углов (∠1+∠4) равна 180º. При этом ∠1=∠2, как накрест лежащие.

Отсюда вывод: сумма односторонних углов равна 180º(∠2+∠4=180º).

Обратные признаки параллельности двух прямых на плоскости

Еще существуют обратные признаки параллельности двух линий на одной плоскости. И их утверждения звучат с точностью до наоборот:

1. Линии считаются (||) параллельными, когда к ним можно провести одну общую перпендикулярную линию.
2. Две линии на одной поверхности параллельные, когда у них накрест лежащие углы между собой равны или же они прямые.
3. Две линии на одной поверхности считаются (||) параллельными, когда соответственные углы у оснований равные.
4. Две линии на одной поверхности (||) параллельные, когда сумма (∑ ) односторонних углов равняется 180º.

Далее в видео будут представлены наглядные доказательства признаков параллельности двух линий в одной плоскости.

Ниже предоставлены статьи на тему образования детей в школе, если вам интересно можете обратить внимание на них:

• Запятая перед КАК
• Как писать план к ЭССЕ?
• Биология: сравнение животных растительных клеток
• Загадки про морковку для малышей

Видео: Признаки параллельности двух прямых